等腰三角形的性质

三角形 第2章 等腰三角形 2 3 如图 把一张长方形纸片按图中的虚线对折 AC和AB有什么关系 这个三角形有什么特点 然后沿着虚线剪去一部分 再把它展开 得 ABC 定义 两条边相等的三角形叫做等腰三角形 边 等腰三角形中 相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底边 角 等腰三角形中 两腰的夹角叫做顶角 腰和底边的夹角叫做底角 任意画一个等腰三角形ABC 其中AB AC 如图 作 ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射 由于 1 2 AB AC 因此 射线AB的像是射线AC 射线AC的像是射线 线段AB的像是线段AC 线段AC的像是线段 点B的像是点C 点C的像是点 线段BC的像是线段CB 从而等腰三角形ABC关于直线对称 AB AB B AD 由于点D的像是点D 因此线段DB的像是线段 从而AD是底边BC上的 由于射线DB的像是射线DC 射线DA的像是射线 因此 BDA CDA 从而AD是底边BC上的 由于射线BA的像是射线CA 射线BC的像是射线 因此 B C DC 中点 DA 90 高 CB 等腰三角形是轴对称图形 对称轴是顶角平分线所在的直线 等腰三角形的两底角相等 简称 等边对等角 在 ABC中 AC AB 已知 B C 等边对等角 几何语言 等腰三角形底边上的高 中线及顶角平分线重合 简称 三线合一 在 ABC中 AB AC 点D在BC上1 AD BC 2 AD是中线 3 AD是角平分线 几何语言 BADCAD BDCD BDCD BADCAD ADBC ADBC 在 ABC中 AB AC 点D在AC上 且BD BC AD 求 ABC各角的度数 解 在 ABC中 AB AC ABC ACB A ABC ACB 180 在 ABD中 BD AD ABD A BDC A ABD 即 BDC 2 A 在 BDC中 BD BC BDC BCD A 2 ACB 180 即 A 4 A 180 A 36 ABC BCA 2 A 72 如图 1 在等腰 ABC中 AB AC A 36 则 B C 变式练习 1 如图 2 在等腰 ABC中 A 50 则 B C 2 如图 3 在等腰 ABC中 A 120 则 B C 72 72 65 65 30 30 如图 ABC是等边三角形 那么 A B C的大小之间有什么关系呢 因为 ABC是等边三角形 所以AB BC AC 从而 C A B 由三角形内角和定理可得 A B C 60 等边三角形的三个内角相等 且都等于60 由于等边三角形是特殊的等腰三角形 因此等边三角形是轴对称图形 它有三条对称轴 分别是三个内角的平分线所在的直线 举例 例1 已知 如图 在 ABC中 AB AC BD AC 垂足为点D 求证 DBC A 举例 F 作AF BC于F AB ACAF BC CAF BAF BAC AF BCBD AC CAF C DBC C 90 DBC CAF DBC BAC 解题规律 在等腰三角形中 做顶角平分线或作底边上高或作底边上中线是一种常用的辅助线 举例 例2已知 如图 在 ABC中 AB AC 点D E在边BC上 且AD AE 求证 BD CE 证明 作AF BC 垂足为点F 则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高 也是底边上的中线 BF CF DF EF BF DF CF EF 即BD CE 如图的三角测平架中 AB AC 在BC的中点D挂一个重锤 自然下垂 调整架身 使点A恰好在铅垂线上 1 AD与BC是否垂直 试说明理由 2 这时BC处于水平位置 为什么 本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质 例 已知 在 ABC中 AC BC ACB 900 点D是AB的中点 点E是AB边上一点 证明 点D是AB中点 AC BC ACB 900 CD AB ACD BCD 450 CAD CBD 450 CAE BCG又BF CE CBG BCF 900又 ACE BCF 900 ACE CBG又AC BC AEC CGB ASA AE CG 1 直线BF垂直于CE于点F 交CD于点G 如图 求证 AE CG 2 直线AH垂直CE 垂足为H 交CD的延长线于点M 如图 找出图中与BE相等的线段 并说明 求证 BE CM 证明 CH HM