江西抚州临川第一中学高三数学模拟考试文

江西省抚州市临川第一中学2019届高三数学下学期考前模拟考试试题 文（含解析）第卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上.1.已知为虚数单位,复数满足：，则在复平面上复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出并化简，从而确定复数对应的点的坐标为，进而判断其位于第四象限.【详解】因为，所以复平面上复数对应的点为，位于第四象限，故选.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.2.已知集合，若是整数集合)，则集合可以为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】从选项出发，先化简集合，然后判断是否等于，即可判断出正确的答案.【详解】A选项：若，则，不符合；B选项：若，则，不符合；C选项：若，则，符合；D选项：若，则集合的元素为所有整数的平方数：，则，不符合.故答案选C.【点睛】本题主要考查了集合的化简和集合的运算，属于基础题.对于数集的化简，一般用列举法表示，或者化为范围的形式.3.已知向量，且，则值为（ ）A. 1B. 3C. 1或3D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用向量垂直的坐标表示得到关于的方程，从而求出. 【详解】因为，所以，因为，则，解得所以答案选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.4.某民航部门统计2019年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表如图所示，根据图表，下面叙述不正确的是( )A. 同去年相比，深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升B. 天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2019年北京的平均价格最高C. 2019年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 同去年相比，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京【答案】A【解析】【分析】弄清楚条形图的意义，以及折线图的意义，即可对选项进行判断.【详解】根据条形图，可以判断2019年平均价格前三位分别为北京、深圳、广州，根据折线图，可以判断涨幅前三位分别为天津、西安、南京，涨幅最小的是厦门，由此可判断B、C、D均正确，A不正确.故选A.【点睛】本题主要考查了统计图的理解与判断，属于基础题.5.已知平面直角坐标角系下，角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 （ ）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】根据角的终边经过点，即可利用公式求出与，再利用诱导公式和二倍角公式对式子进行化简，然后代入求值.【详解】因为角的终边经过点，所以，因为，故答案选.【点睛】本题主要考查了已知角终边上一点坐标求三角函数值，以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题. 已知角终边上一点坐标，则.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据三视图还原几何体，结合几何体的特征求解表面积.【详解】该几何体为两个三棱锥组合体，直观图如图所示，所以表面积为.故选A.【点睛】本题主要考查三视图组合体的表面积，考查空间想象能力.7.已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义，以及切线的相关知识即可建立方程求出，再利用双曲线的标准方程以及相关性质，即可求出离心率.【详解】设切点坐标为，而抛物线方程为，则，因为直线与抛物线相切，所以有，解得，则，所以双曲线方程为，即标准方程为，所以有，则，所以离心率，故答案选B.【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，切线方程问题以及双曲线离心率的求解，属于中档题.对于切线问题，关键是抓住这三个关系：（1）切点在曲线上；（2）切点在切线方程上；（3）曲线在切点处的导数等于切线的斜率.8.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出，进而求出马主人应该偿还的量.【详解】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.9.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用单调性，通过取中间值，即可得到.再不等式的性质，以及对数的运算，即可得到.再通过作差法，即可得到，从而得到的大小比较.【详解】因为，所以，因为，而，所以，即可得，因为，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了比较大小的问题，涉及到单调性的运用、对数运算公式以及不等式的性质应用，属于中档题.对于比较大小问题，常用的方法有：（1）作差法，通过两式作差、化简，然后与进行比较，从而确定大小关系；（2）作商法，通过两式作商、化简（注意分母不能为零），然后与进行比较，从而确定大小关系；（3）取中间值法，通过取特殊的中间值（一般取等），分别比较两式与中间值的大小关系，再利用不等式的传递性即可得到两式的大小关系；（4）构造函数法，通过构造函数，使得两式均为该函数的函数值，然后利用该函数的单调性以及对应自变量的大小关系，从而得到两式的大小关系.10.已知如图正方体中，为棱上异于其中点的动点，为棱的中点，设直线为平面与平面的交线，以下关系中正确的是（ ） A. B. C. 平面D. 平面【答案】C【解析】【分析】根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断.【详解】因为在正方体中，且平面，平面，所以平面，因为平面，且平面平面，所以有，而，则与不平行，故选项不正确；若，则，显然与不垂直，矛盾，故选项不正确； 若平面，则平面，显然与正方体的性质矛盾，故不正确；而因为平面，平面，所以有平面，所以选项C正确，.【点睛】本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.11.若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数研究函数在上的单调性，当时，在上为增函数，且，即可判断其没有零点，不符合条件；当时，在上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当趋于时，趋于，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定的范围.【详解】因为函数，所以令，因为，当 时，所以所以在上为增函数，则，当时，所以，所以在上为增函数，则，所以在上没有零点.当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，当时，；所以当时，为减函数，当时，为增函数，当时，因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.12.已知函数的图象经过两点， 在内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出函数的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.【详解】根据题意可以画出函数的图像大致如下因为，由图可知， 又因为，所以，所以，因为，由图可知，解得，又因为，可得，所以当时，所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图像，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.第卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13.已知实数满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，然后结合目标函数的几何意义找出最优解，从而求出最小值.【详解】根据约束条件，画出的平面区域如阴影部分所示：由目标函数，得，画出直线并平移，当直线经过点时，轴上的截距最大，则取得最小值，因为，可得，所以.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，属于基础题.利用线性规划求最值的一般步骤：（1）根据线性规划约束条件画出可行域；（2）设，画出直线；（3）观察、分析、平移直线，从而找出最优解；（4）求出目标函数最大值或最小值.14.已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据的定义域以及的解集，即可得到的等价条件，从而求出其解集.【详解】因为，则，解得，所以定义域为，因为等价于，解得，因为，所以 ，解得，所以解集为.【点睛】本题主要考查了不等式的求解，涉及到对数运算以及函数定义域的求解，属于中档题.15.在中,角所对的边分别为,若,且 ，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理将恒等式中的角转化为边，化简即可求出，再利用余弦定理求出，即可用面积公式求解.【详解】因为，由余弦定理可得，化简得，即，因为，所以，又因为，代入，得解得（舍去），所以.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的运用，以及面积公式得应用，属于中档题.对于解三角形中恒等式的处理，主要有两个方向：（1）角化成边，然后进行代数化简；（1）边化角，然后利用三角恒等变换相关公式进行化简.16.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，经过抛物线的焦点反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为_.【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为，从而得到，抛物线方程得解.【详解】设，设两平行光距离为，由题意可知，因为，而直线过点，则设直线方程为：，因为，消去得，由韦达定理可得，则，所以，故抛物线方程为.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，涉及到韦达定理的应用，属于难题.对于涉及到直线与曲线相关的距离问题，常常运用到韦达定理以及弦长公式进行求解.三、 解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列中，且.（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）当时，求数列的前2020项和.【答案】（1）时，不是等比数列；时，是等比数列；（2）.【解析】【分析】（1）将递推公式变形为，则当时，首项为零，不是等比数列；当时，数列是等比数列.（2）先求出的通项，然后利用分组求和法、并项求和法以及公式法即可求出.【详解】（1），当时，故数列不是等比数列； 当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3.（2）由(1)且当时有：，即， ， .【点睛】本题主要考查了等比数列证明、数列前项和的求解，属于中档题. 对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可.18.三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面(1) 证明：是的中点；(2) 设,四边形为边长为4正方形，四边形为矩形，且异面直线与所成的角为，求该三棱柱的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)32.【解析】【分析】（1）利用棱柱的性质以及相似三角形判断定理，证得，从而得到；连接分别交于，连，利用线面平行性质定理证得，从而得到；再证得，从而得到，结论得证.（2）取的中点，连接，则或其补角为异面直线与所成的角，结合题目条件，设，分别求出，再利用余弦定理，即可建立方程求出，从而求出三棱柱的体积.【详解】(1)证明：连接分别交于，连，平面，平面，平面平面=，, 又在三棱柱侧面中，为的中点，由可得，所以， 故，在平面中同理可证得，故有是的中点. (2)取的中点，连接，可知，故或其补角为异面直线与所成的角， 设，则在中，可求，则余弦定理可求：，解得：， 故【点睛】本题考查了线面平行性质定理的应用，相似三角形的判断与性质应用，异面直线所成角以及三棱柱体积计算，属于中档题.19.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一,为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村扶贫. 此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分1234567891078738192958579846386111213141516171819208886957697788882768921222324252627282930798372749166808374823132333435363738394093787581847781768589用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若贫困户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”.运用样本估计总体的思想，现从（1）中抽到的10个样本的满意度为“级”贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度均评分均“超过80”的概率.（参考数据：）【答案】（1）92，84，86，78，89，74，83，78，77，89；（2）83，33；（3）.【解析】【分析】（1）根据系统抽样的规则，第一组编号为4，则随后第组编号为，即可确定系统抽抽取的样本编号，从而得到对应的样本的评分数据。（2）利用平均数公式以及方差公式即可求得.（3）先确定样本中符合级的人数以及级的人当中80分以上的人数，利用古典概型公式即可求出对应概率.【详解】（1）通过系统抽抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有 所以均值，方差. （3）由题意知评分在即之间满意度等级为“A级”， 由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，从5人中选2人共有10种情况，而80-分以上有3人，从这3人选2人共有3种情况，故.【点睛】本题考查了系统抽样，平均数和方差的计算以及古典概型，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆的直径为（1）求椭圆及圆的方程；（2）设直线与圆相切于第一象限内的点，直线与椭圆交于两点若的面积为，求直线的方程【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆焦点可以确定，再利用点代入椭圆方程即可求出，从而得到椭圆方程；由圆O的直径为，即可知圆心坐标为，半径为，从而得到圆的方程.（2）设切点坐标为，即可表示出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，利用求根公式求出，然后利用弦长公式表示，而由条件可求出，结合，即可求出,从而求出直线的方程.【详解】(1)因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为因为圆O的直径为，所以其方程为 （2）设直线与圆O相切于，则，所以直线的方程为，即由消去y，得 因为三角形OAB的面积为，所以，从而，设，由得， 所以因为， 所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为 故直线l的方程为:【点睛】本题考查了椭圆方程以及圆的方程求解，椭圆与直线的相关弦长问题，属于难题.对于直线与椭圆的弦长问题，关键是设出直线方程，联立两方程，消去其中一个变量得到另一变量的一元二次方程，结合韦达定理以及弦长公式即可处理.21.已知函数存在极大值与极小值，且在处取得极小值. （1）求实数的值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.（参考数据：）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），解得或，当时，只有极小值，不符合题意当时，符合题意，由此能求出实数的值 （2），当时，在上单调递增，当时，令，则，利用导数性质能求出实数的取值范围【详解】解：（1）函数存在极大值与极小值，且在处取得极小值，,依题意知，解得或，当时，时，单调递减；时，单调递增，此时，只有极小值，不符合题意当时，,或时，单调递增；时，单调递减，符合在处取得极小值的题意，综上，实数的值为（2），当时，故在上单调递增，当时，令，则，单调递增，单调递减，,时，故在上单调递减，在上有两个零点，此时当时，在有一个零点，当时，令，在有一个零点，综上，实数的取值范围是【点睛】本题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、