《线性相关性》PPT课件

线性相关性 一个十分重要的概念 一 线性组合 对于向量 1 2 s 如果存在P上的数k1 k2 ks使 定义 k1 1 k2 2 ks s 则称向量 为向量组 1 2 s的一个线性组合 另一种称呼是 可以由向量组 1 2 s线性表出 注 1 若 k 则称向量 与 成比例 2 零向量0是任一向量组的线性组合 3 一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出 4 任一n维向量 a1 a2 an 都是向量组 1 1 0 0 2 0 1 0 n 0 0 1 的一个线性组合 因为 a1 a2 2 an n 例1判断向量 2 1 3 4 能否由向量组 1 1 2 3 1 2 5 5 12 11 3 1 3 6 3 线性表出 若能 写出它的一个线性组合 解 设 k1 1 k2 2 k3 3 即有方程组 解方程组可得一个特解 1 0 1 即 1 3 二 向量组的等价 若向量组 1 2 s中每一个向量 i i 1 2 s 都可经向量组 1 2 t线性表出 则称向量组 1 2 s可以经向量组 1 2 t线性表出 若两个向量组可以互相线性表出 则称这两个向量组等价 1 定义 2 性质 向量组之间的等价关系具有 1 反身性 2 对称性 3 传递性 数学上的等价关系必须上述具有三性 三 线性相关性 1 线性相关 定义如果向量组中有一向量可由其余向量线性表出 则向量组称为线性相关的 2 任意一个含零向量的向量组必线性相关 1 向量组 1 2线性相关 1 2成比例 特殊情形 3 一个向量构成的向量组线性相关 则向量为零向量 等价定义 问题 在s 2时 上述两个定义为什么等价 向量组 1 2 s s 2 称为线性相关的 如果存在不全为零的数k1 k2 ks 使k1 1 k2 2 ks s 0 2 线性无关 向量组 1 2 s s 2 称为线性无关的 如果不存在不全为零的数k1 k2 ks 使k1 1 k2 2 ks s 0 定义 等价定义对于向量组 1 2 s s 1 如果由k1 1 k2 2 ks s 0可以得到k1 k2 ks 0成立 称此向量组为线性无关的 1 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量 2 一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出 性质 4 一个向量组若线性无关 则它的任何一个部分组都线性无关 3 一个向量组中若部分向量线性相关 则整个向量组也线性相关 5 如果向量组 1 2 s线性无关 而向量组 1 2 s 线性相关 则 可由向量组 1 2 s线性表出 证明过程 部分组相关 整体相关 6 如果 i ai1 ai2 ain i 1 2 s 则向量组 1 2 s线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 只有零解 向量 1 2 s组线性相关的充要条件是齐次线性方程组 有非零解 在向量个数为n时 根据Cramer法则 前一结论可改写 1 2 s线性无关 aij 0 已知 i ai1 ai2 ain i 1 2 n 则 1 2 s线性相关 aij 0 7 若向量组 1 2 s线性无关 其中 i ai1 ai2 ain i 1 2 s 则 1 2 s也线性无关 其中 i ai1 ai2 ain ain 1 注 称 1 2 s为 1 2 s的延长组 1 2 s为 1 2 s的缩短组 反之若 1 2 s线性相关 则 1 2 s必线性相关 8 线性相关性的基本定理 设 1 2 r I 与 1 2 s II 为两个向量组 若i 向量组 I 可由向量组 II 线性表出 ii r s则向量组 I 必线性相关 定理 推论1如果 1 2 r可由 1 2 s线性表出 且 1 2 r线性无关 则r s 推论2任意n 1个n维向量必线性相关 推论3两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量 反之不然 即含向量个数相同的两个线性无关的向量组未必等价 已知向量组 1 2 3线性无关 且 1 1 2 2 2 3 3 3 1 证明 1 2 3线性无关 例2 四 极大线性无关组 秩 1 极大线性无关组 定义一个向量组的一个部分组如果本身是线性无关的 并且从这个向量组中任意添加一个向量 如果还有的话 所得的部分向量组都线性相关 则此部分组称为一个极大线性无关组 等价定义 则称 i1 i2 ir为向量组 1 2 s的一个极大线性无关组 简称极大无关组 设 1 2 s为Pn中的一个向量组 它的一个部分组 i1 i2 ir若满足 i i1 i2 ir线性无关 ii 对任意的 j 1 j s j可经 i1 i2 ir线性表出 性质 1 通常一个向量组的极大无关组不唯一 2 一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身 3 一个向量组的任意两个极大无关组都等价 4 一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量 2 向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩 定义 性质 1 向量组线性无关 秩等于所含向量个数 向量组线性相关 秩小于所含向量个数 2 等价向量组必有相同的秩 反之不然 3 若向量组 1 2 r可由向量组 1 2 s线性表出 则秩 1 2 r 秩 1 2 s It sover 证明过程 因为 1 2 s 线性相关 所以存在不全为零的一组数k1 k