2、波的能量和合成

8 3波的能量 一 波的能量和能量密度 以绳索上传播的简谐波为例 O x y 线元的动能为 线元的势能 平衡位置为势能零点 为 设波沿x方向传播 取线元 T2 T1 y 其中 将 代入 线元的机械能为 和 机械能 能量密度 绳子的横截面为S 体密度为 S 平均能量密度 Wk Wp 适用于各种弹性波 能量的传播 A 能量 一堆一堆 地传播 处 处 1 在波的传播过程中 媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的 即Wk Wp 与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的 讨论 x y O A B 2 质元机械能随时空周期性变化 表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量 因此 波动过程是能量的传播过程 平均能量密度 二 能流密度 在一个周期中的平均能流为 s u t 能流密度 通过垂直于波线截面单位面积上的平均能流 大小 方向 波的传播方向 矢量表示式 能流 单位时间内垂直通过某一截面的波的能量 S 单位 瓦特 W 三 平面波和球面波的振幅 平面波 介质不吸收能量 由 得 这表明平面波在媒质不吸收的情况下 振幅不变 波的能流密度或波的强度 单位 瓦特 米2 W m2 球面波 由 令 得 球面波的振幅即使在媒质不吸收的情况下 随r增大而减小 则球面简谐波的波函数为 A0为离原点 波源 r0距离处波的振幅 在弹性介质中传播的机械纵波 一般统称为声波 可闻声波20 20000Hz次声波低于20Hz超声波高于20000Hz 声强 声波的能流密度 超声波具有波长短 易于定向发射等优点 在超声波段进行声速测量比较方便 超声波在生产生活中有极其广泛的应用 包括超声检测 超声探伤 功率超声 超声处理 超声诊断 超声治疗等 超声波马达 超声波漏水检测 超声波马达 UltraSonicMotor 的简称是 USM 最早应用于照相机上是CanonEF系列镜头 贝尔 B 声强级 人们规定声强 即相当于频率为1000Hz的声波能引起听觉的最弱的声强 为测定声强的标准 如某声波的声强为I 则比值的对数 叫做相应于I的声强级LI 声强 声波的能流密度 能够引起人们听觉的声强范围 分贝 dB 几种声音近似的声强 声强级和响度 四 波的吸收 O 波在吸收媒质中传播时 实验表明 为介质吸收系数 与介质的性质 温度及波的频率有关 I x I0 I0 O I 应用 增加吸收 减少吸收 机械能 热运动能 不可逆 造成吸收的因素 疏部 密部有温差 发生热交换 非弹性碰撞使分子机械能 机械能 热运动能 不可逆 分子内能 不可逆 1 内摩擦 2 热传导 3 分子碰撞 软而多孔的物质吸声系数大 而坚硬平滑的物质吸声的系数就小 波在弹性介质中运动时 任一点P的振动 将 8 4惠更斯原理 惠更斯原理 惠更斯荷兰人 由于某些原因 波在传播中 频率和振幅都有可能改变 惠更斯原理给出的方法 惠更斯作图法 是一种处理波传播方向的普遍方法 会引起邻近质点的振动 就此特征而言 振动着的P点与波源相比 除了在时间上有延迟外 并无其他区别 因此 P可视为一个新的波源 1690年 惠更斯总结出了以其名字命名的惠更斯原理 行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源 所有子波源各自向外发出许多子波 各个子波所形成的包络面 就是原波面在一定时间内所传播到的新波面 惠更斯原理 已知某一时刻的波前 可用几何方法决定下一时刻波面 2 亦适用于电磁波 非均匀和各向异性媒质 3 解释衍射 反射 折射现象 波在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物的边缘 在障碍物的阴影区内继续传播 这种现象叫波的衍射 衍射现象 障碍物的线度越大衍射现象 越不明显 障碍物的线度越小衍射现象越明显 相对于波长而言 在工程上凡需定向传播信息 应使用波长较短的波 如雷达用的是几厘米至几毫米的电磁微波 超声波探伤用的是几毫米的声波 为了扩大波的接受范围 扩大衍射效果 应用波长较长的波 如收音机 电视机常使用波长长达几十米甚至几百米的电磁波 声音强度相同的情况下 B C A u1 u2 u2 t d u1 t 折射现象 折射定律1 折射线 入射线和界面的法线在同一平面内 2 4 不足之处 未涉及振幅 相位等的分布规律 光密介质 光疏介质时 折射角r 入射角i 全反射的一个重要应用是光导纤维 光纤 当入射i 临界角iC时 将无折射光 全反射 iC 临界角 它是现代光通信技术的重要器件 人们造出一种透明度很高 粗细像蜘蛛丝一样的玻璃丝 玻璃纤维 当光线以合适的角度射入玻璃纤维时 光就沿着弯弯曲曲的玻璃纤维前进 由于这种纤维能够用来传输光线 所以称它为光导纤维 1870年的一天 英国物理学家丁达尔到皇家学会的演讲厅讲光的全反射原理 他做了一个简单的实验 在装满水的木桶上钻个孔 然后用灯从桶上边把水照亮 结果使观众们大吃一惊 人们看到 放光的水从水桶的小孔里流了出来 水流弯曲 光线也跟着弯曲 光居然被弯弯曲曲的水俘获了 在弯曲的水流里 光仍沿直线传播 只不过在内表面上发生了多次全反射 光线经过多次全反射向前传播 光导纤维 我国电信的主干线早已全部为光缆 光纤通信容量大 而且损耗小 在不加中继站的情况下 光缆传输距离可达300公里 而同轴电缆只几公里 微波也只有几十公里 利用光导纤维制成的内窥镜 可以帮助医生检查胃 食道 十二指肠等的疾病 光导纤维胃镜是由上千根玻璃纤维组成的软管 它有输送光线 传导图像的本领 又有柔软 灵活 可以任意弯曲等优点 可以通过食道插入胃里 光导纤维把胃里的图像传出来 医生就可以窥见胃里的情形 然后根据情况进行诊断和治疗 光导纤维是由两种或两种以上折射率不同的透明材料通过特殊复合技术制成的复合纤维 近10年发展起来的导管X光学也应用了全反射现象 对X光来说 玻璃对真空的折射率 1 故X光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射 X光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃管内 就可以沿着弯曲的导管传播 应用毛细的X管束可制成X光透镜 聚焦提高光束功率密度 将发散光变为平行光 8 5波的干涉 叠加原理 1 波传播的独立性 2 叠加原理 当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开 各波的传播情况与未相遇一样 仍保持它们各自的频率 波长 振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进 在波相遇区域内 任一质点的振动 为各波单独存在时所引起的振动的合振动 相干波与相干条件 频率相同 振动方向平行 相位相同或相位差恒定的两列波相遇时 使某些地方振动始终加强 而使另一些地方振动始终减弱的现象 称为波的干涉现象 干涉现象 当两列 或多列 波叠加时 其合振动的振幅A和合强度I将在空间形成一种稳定的分布 即某些点上的振动始终加强 某些点上的振动始终减弱的现象 干涉规律 P点处的合振动方程为 S1 S2 P点处合振动的振幅 P P 波源 相位差 波的强度 讨论 空间点振动情况分析 当 干涉相长 当 干涉相消 当其它值 干涉相长 若 干涉相消 干涉相长 干涉相消 从能量上看 当两相干波发生干涉时 在两波交叠的区域 合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和 而是发生重新分布 形成了时间上稳定 空间上强弱相间具有周期性的一种分布 当 若 波程差 A B为两相干波源 距离为30m 振幅相同 初相差为 u 400m s f 100Hz 例 A B连线上因干涉而静止的各点位置 求 解 B A 30m P在B右侧 P在A左侧 即在两侧干涉相长 不会出现静止点 r1 r2 P在A B点之间 P在A点左侧或B点的右侧 干涉相消 因干涉而静止的点 例如图所示 A B两点为同一介质中两相干波源 其振幅皆为5cm 频率皆为100Hz 但当点A为波峰时 点B适为波谷 设波速为10m s 试写出由A B发出的两列波传到点P时干涉的结果 解 设A的相位较B超前 则 点P合振幅 8 6驻波 一 驻波的产生 振幅 频率 传播速度都相同的两列相干波 在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 振幅 频率 传播速度都相同的两列相干波 在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 波腹 振幅最大的点 波节 始终静止的点 能够传播的波叫行波 travellingwave 实验 弦线上的驻波 驻波条件 图文 铜喷水震盆 鱼洗 双手来回磨擦铜耳时 形成铜盆的自激振荡 这种振动在均匀媒质中传播 并在边界处反射 反射波与激振波相互叠加形成二维驻波 实验 弦线上的驻波 图不太准确 波节OBDFH 波腹ACEG 驻波条件 二 驻波波函数 沿x轴的正 负方向传播的波 正向 负向 合成波的振幅与位置x有关 与时间无关 波腹 波节 驻波不传播 各点做简谐振动 振幅随位置不同而不同 相邻波腹 节 间距 相邻波腹和波节间距 势能 动能 势能 驻波没有振动状态和能量的定向传播 但质元间仍有能量交换 总能流密度为 驻波相邻的波节和波腹之间的 4区域 实际上构成一个独立的振动体系 它与外界不交换能量 能量只在 4区域内流动 平均没有能量的传播 但质元间仍有能量交换 能量由波节向波腹流动 势能 动能 Ep Ep Ek 瞬时位移为0 势能为0 动能最大 能量由波腹向波节流动 动能 势能 Ep Ep Ek 波节 波腹 的两边 不发生能量交换 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化 在相邻的波节间发生动能和势能间的转换 动能主要集中在波腹 势能主要集中在波节 但无长距离的能量传播 平面驻波 提琴全息振型 平面驻波 小提琴的弦在发声的时候不但要横向震动 即垂直于弦的方向 产生横波并且来回反复形成驻波 而且因为弓和弦的摩擦 对弦产生一种扭弦力 使它在震动的同时发生横截面上的形变 反射点为波节 表明入射波与反射波在该点反相 三 相位跃变 半波损失 对于波沿两种介质分界面垂直入射的情形 把密度 与波速u的乘积 u较大的介质称为波密介质 u较小的介质称为波疏介质 当波从波疏介质传播到波密介质 分界面反射点是波节 表明入射波在反射点反射时有相位 的突变相当于在波程上突变 这一现象称为半波损失 反射波在分界处产生的相位跃变 相当于出现了半个波长的波程差 称半波损失 当波从波密介质垂直入射到波疏介质 被反射到波密介质时形成波腹 入射波与反射波在此处的相位时时相同 即反射波在分界处不产生相位跃变 入射波和反射波的波形 z小 z大 z小 z大 特性阻抗 为什么会发生位相突变 适当选择时间零点 各波波函数为 2 界面两侧应力相等 牛顿第三定律 1 界面两侧质元位移相同 接触 y1 y1 x 0 y2 x 0 纵波 机械波垂直界面入射 有界面关系 将y和E u2代入界面关系 得 3 以B为坐标原点求合成波 并分析波节 波腹的位置坐标