承压井的Dupuit公式.ppt

1 欢迎你 地下水动力学 2 3 1概述 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 3 3非线性流情况下的地下水向完整井的稳定运动 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 3 5流量和水位降深关系的经验公式 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 3 7均匀流中的井 3 8井损与有效井径的确定方法 第三章地下水向完整井的稳定运动 3 3 1概述 一 水井的类型根据水井井径的大小和开凿方法 分为管井和筒井两类 管井 直径通常小于0 5m 深度大 常用钻机开凿 筒井 直径大于1m 深度浅 通常用人工开挖 根据水井揭露的地下水类型 水井分为潜水井和承压水井两类 根据揭露含水层的程度和进水条件不同 可分为完整井和不完整井两类 完整井 水井贯穿整个含水层 在全部含水层厚度上都安装有过滤器 并能全面进水的井 不完整井 水井没有贯穿整个含水层 只有井底和含水层的部分厚度上能进水的井 如图 4 3 1概述 5 3 1概述 二 井附近的水位降深 1 水位降深水位降深 初始水头减去抽水t时间后的水头 也简称降深 用s表示 降落漏斗 抽水时 井中心降深最大 离井越远 降深越小 总体上形成的漏斗状水头下降区 6 地下水开采与水位降落漏斗 补给与开采条件下的地下水运动 7 3 1概述 8 3 1概述 9 3 1概述 10 3 1概述 2 抽水时 地下水能达到稳定运动的水文地质条件 1 在有侧向补给的有限含水层中 当降落漏斗扩展到补给边界后 侧向补给量和抽水量平衡时 地下水向井的运动便可达到稳定状态 2 在有垂向补给的无限含水层中 随着降落漏斗的扩大 垂向补给量不断增大 当它增大到与抽水量相等时 将形成稳定的降落漏斗 地下水向井的运动也进入稳是状态 3 在没有补给的无限含水层中 随着抽水时间的延长 水位降深的速率会越来越小 降落漏斗的扩展越来越慢 在短时间内观测不到明显的水位下降 这种情况称为似稳定状态 也称似稳定 11 3 1概述 3 井径和水井内外的水位降深一般抽水井有三种类型 未下过滤器 下过滤器和下过滤器并在过滤器外填砾 如P62图3 2 1 未下过滤器的井 井的半径就是钻孔的半径 井壁和井中的水位降深一致 2 下过滤器的井 井的直径为过滤器的直径 井内水位比井壁水位低 3 过滤器周围填砾的井 井周围的渗透性增大 水力坡度变小 所以降深变小 但是 井损还存在 这种条件下 井的半径应用有效井半径 12 3 1概述 井损 水流流经过滤器的水头损失和在井内部水向上运动至水泵吸水口时的水头损失统称为井损 有效井半径 是由井轴到井管外壁某一点的水平距离 在该点 按稳定流计算的理论降深正好等于过滤器外壁的实际降深 13 3 1概述 4 假设条件本章以后几节中共有的假设条件 1 含水层均质 各向同性 产状水平 厚度不变 分布面积很大 可视为无限延伸 2 抽水前的地下水面是水平的 并视为稳定的 3 含水层中的水流服从Darcy定律 并在水头下降的瞬间水就释放出来 如有弱透水层 则忽略其弹性释水量 14 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 一 承压井的Dupuit公式在上假设条件的基础上 将含水层视为半径为R的圆形岛状含水层 在R处为定水头H0 这时 水流有如下特征 水流为水平径向流 即流线为指向井轴的径向直线 等水头面为以井为共轴的圆柱面 并和过水断面一致 通过各过水断面的流量处处相等 并等于井的流量 15 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 16 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 上述条件下 给出的数学模型为 17 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 求解模型 对微分方程 进行积分 得 通过任一断面的流量相等 并等于抽水量Q 所以 18 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 得 即 将上式分离变量 得 按给出的定解条件取定积分 19 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 积分得 整理 得 或 式中 sw 井中水位降深 Q 抽水井流量 M 含水层厚度 K 渗透系数 rw 井的半径 R 影响半径 上二式为Dupuit公式 20 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 对于无限含水层 可以当作似稳定处理 R取从抽水井到明显观测不出水位降深处的径向距离 但是 对于无限含水层 难以确定R 当有一个观测孔时 可用一个观测孔的水位或降深 或 21 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 同理得 有两个观测孔时 或 此式为Thiem公式 22 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 水头方程 联立方程 2 1 解得 此式为稳定井流井附近的承压水水头分布方程 与流量和渗透系数无关 23 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 二 潜水井的Dupuit公式 1 假设条件 在第一节假设条件的基础上 再做如下假设 1 流向井的潜水流是近似水平的 2 通过不同过水断面的流量处处相等 并等于井的流量 2 数学模型及其解 24 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 25 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 求解模型 对微分方程 进行积分 得 通过任一断面的流量相等 并等于抽水量Q 所以 26 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 得 即 将上式分离变量 得 按给出的定解条件取定积分 27 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 积分得 整理 得 或 上二式为潜水井的Dupuit公式 28 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 当有一个观测孔时 当有两个观测孔时 此式为潜水井的Thiem公式 29 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 水头方程 联立方程 2 1 解得 此式为潜水位的分布方程 30 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 与流量和渗透系数无关其他条件下 Dupuit公式的推广 1 巨厚含水层中的潜水井这时井的降深仅是含水层厚度的一小部分 将Dupuit公式改为 由于含水层比较厚 所以hw的微小变化 即 hw 相对于H0 hw很小 可忽略不计 H0 hw 常数 31 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 当井中降深H0 hw sw H0时 可视H0 hw上式变为 表明 当含水层很厚而降深相对较小时 潜水含水层可近似地按承压含水层处理 32 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 2 承压 潜水井在承压含水层中 进行大降深抽水可能产生无压区 应分段计算 在无压区用潜水Dupuit公式 在承压区用承压水Dupuit公式 从二式中消去lna 得承压 潜水井流量公式 水头预报 无压区用潜水公式 承压区用承压水公式 33 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 3 注水井和补给井 承压水井 潜水井 34 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 三 Dupuit公式的应用 1 求含水层参数无观测孔时 需已知Q sw R承压井 潜水井 35 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 有一个观测孔时 需已知Q sw s1 r1承压井 潜水井 36 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 有两个观测孔时 需已知Q s1 s2 r1 r2承压井 潜水井 2 预报流量或降深利用Dupuit公式 37 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 四 Dupuit公式的讨论 1 井径和流量的关系按Dupuit公式 流量与井径呈半对数关系 井径对流量的影响不太大 如井径增大一倍 流量约增加10 井径增大10倍 流量仅增加40 左右 但实际上 井径对流量的影响比Dupuit公式反映的关系要大得多 如冶金工业部勘察总公司在北京南苑试验场进行了井径和流量关系的对比试验 三种井径100mm 150mm 200mm的Q sw关系曲线如 图 38 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 得出如下认识 当降深sw相同时 井径增加同样的幅度 强透水岩层中井的流量增加得比弱透水层中的井多 对于同一岩层 井径增加同样的幅度 大降深抽水的流量增加得多 小降深抽水时流量增加得少 对于同样的岩层和降深 小井径时 由井径增加所引起的流量增长率大 中等井径时 增长率减小 大井径时 流量随井径的增加就不明显了 39 3 2地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 公式计算结果的影响渗出面 在潜水的出口处 潜水位高于地表水位 高出的面为渗出面 渗出面的作用 1 为井壁和井中提供水头差 使井附近 阴影部分 的水进入井内 2 保持了适当高度的过水断面 以保证含水层内的水流入井内 说明 Dupuit公式中未考虑渗出面 那么利用Dupuit公式算出的q与实际的相符 算出的h在r H0时与实际相符 在r H0时比与实际的低 40 3 3非线性流情况下的地下水向完整井的稳定运动 当Re 1 10时 水流不服从Dupuit定律 是非线性流 描述非线性流运动的方程有Chezy公式 和Forchheimer公式 41 3 3非线性流情况下的地下水向完整井的稳定运动 一 承压水井 1 地下水服从Chezy公式时 有 分离变量 并积分得 42 3 3非线性流情况下的地下水向完整井的稳定运动 当r R时 H H0 代入上式 得 因为 H0 hw sw 且R rw 所以 上式变为 即 此式为地下水运动服从Chezy公式的承压井流流量公式 43 3 3非线性流情况下的地下水向完整井的稳定运动 2 地下水服从Forchheimer公式时 有J av bv2因为 所以 分离变量 并积分 得 44 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 一 数学模型及其解微分方程为 柱坐标 所以 dH ds代入得 化成由降深表示的方程 H0 H s 或 45 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 模型为 46 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 该模型的解为 为Bessel函数 可查表得 在抽水井附近 可得下近似式 47 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 二 据稳定流抽水试验资料求参数需要确定的参数有T 越流因素 和越流系数 确定方法有 配线法和直线图解法 48 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 1 配线法 利用s r曲线 前面推出降深的式为 另外 对二式两边取对数 得 49 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 曲线 与曲线 相似 只是坐标平移了 只要能找到坐标平移的距离 即可求得T和B 50 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 求参步骤 1 在双对数纸上 据表3 1绘制 曲线 2 在另一张模数相同的透明双对数坐标纸上 据观测孔水位降深 绘制s r实际资料曲线 3 将实际资料曲线叠置在标准曲线上 在保证对应坐标平行的条件下 移动坐标纸 直至两曲线重合为止 4 重合好后 在图上任取一点作为匹配点 读出该点的坐标s r 代入下列各式中 求参数 因为 所以 51 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 2 直线图解法 利用近似公式 公式表明s与lgr是线性关系 将实测的s取普通坐标 r取对数坐标 作图为直线 其斜率 I是负的 52 3 4越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动 即 从图中可读出s 0时的r值 设为r0 代入上式 53 3 5流量和水位降深关系的经验公式 常见的几种Q Sw曲线类型有 直线型 Q qSw 抛物线型 幂函数曲线型 对数曲线型 Q a blgS下面讨论各种类型曲线关系的建立和预报 54 3 5流量和水位降深关系的经验公式 1 直线型 表达式为 Q qSw首先判断Q Sw是否为直线 将不同落程的Qi和Swi资料绘在坐标纸上 如这些点分布在一条直线上 并通过坐标原点 则Qi与Swi为直线型 确定系数q 最小二乘法 若寻找最佳拟合曲线 则实际的Q与曲线上 的应最小 即 最小 55 3 5流量和水位降深关系的经验公式 因为 代入得 最小 在极值点上导数等于零 上式对q求导 得 求得q后得到了直线方程Q qSw 56 3 5流量和水位降深关系的经验公式 2 抛物线型 表达式为 判断Sw Q是否为抛物线型 判断的方法是线性化方程 两边同除以Q得 令 得 用S0和Q点绘在坐标纸上 如果这些点分布在一条直线上 为抛物线型 57 3 5流量和水位降深关系的经验公式 待定系数a b的确定 最小二乘法 同理 最小 即 最小 按照上原理和推导 可得 58 3 5流量和水位降深关系的经验公式 预报井的抽水量 求得a b后 就得到方程 将设计降深代入上方程 计算得为预报量 59 3 5流量和水位降深关系的经验公式 3 幂函数曲线型 表达式为 判断Q Sw是否为幂函数型 先将方程线性化 在双对数纸上绘出Q Sw关系曲线 如为直线 则Q与的关系为幂函数关系 60 3 5流量和水位降深关系的经验公式 q0 m的确定 最小二乘法 同上 将lgq0当作a 1 M当作b 同上方法求得 求得q0 m后 代入方程 得 将设计降深代入 可得预报流量 61 3 5流量和水位降深关系的经验公式 4 对数曲线型 表达式为 Q a blgSw判断q Sw为对数曲线型 在单对数纸上绘点Q S 若落在一条直线上 说明Q Sw为对数型 a b的确定 求得a b后得方程 便可预报流量 62 3 5流量和水位降深关系的经验公式 说明 经验公式是根据实测数据找出变量之间函数近似表达式的 因此 经验公式只能说明在观测数据范围以内的自变量之间的关系 所以 上述经验公式不能外推太大 直线公式外推不能超过抽水最大降深的1 5倍 其它为1 75 3 0倍 63 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 一 叠加原理线性定解问题 指微分方程线性 定解条件线性 例渗流域D的边界是由河流和渠道组成的第一类边界 边界 1上有H H 1 边界 2上有H H 2 区内有抽水井P1和P2 分别以流量Q A和Q B抽水 该问题的数学模型为 64 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 分解为三个子问题 相应的数学模型为 65 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 66 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 利用叠加原理 复杂模型的解为 H H1 H2 H3叠加解的物理意义 模型分解后 解第一个模型 即不存在抽水井 由边界条件单独影响形成的降深s1 x y 如图黑线 解第二模型 边界为齐次边界 P1井流量为A P2井流量为0 解得降深s2 x y 解第三模型 边界为齐次边界 P1井流量为0 P2井流量为B 解得降深s3 x y 三个降深叠加得到边界条件和抽水井共同作用下的总降深 67 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 综上 得如下结论 1 各个边界条件的作用彼此是独立的 2 抽水井的作用也是独立的 井群产生的降深是单井降深的叠加 3 潜水含水层的微分方程是非线性的 必须线性化后 才能用叠加原理 68 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 二 干扰井群无论供水或排水 均利用井群抽水 一般为了便于管理井间距不宜太大 当井间距小于影响半径时 彼此间的降深和流量会发生干扰 干扰的作用 若保持流量不变 干扰情况下 井的降深比不干扰时要大 若保持降深不变 干扰情况下 井的流量比不干扰时要小 影响干扰的因素 含水层的性质 K的大小 M的大小 补给和排泄条件等 井的数量 间距和布井方式等 69 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 干扰井群的计算1 任意布置的干扰井群 1 承压水假设有n口干扰井 其抽水量分别为Q1 Q2 Qn 抽水达到稳定后 第j口抽水井单独抽水对任一点i产生的降深为 n口井抽水时i点产生的总降深为 70 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 当i点落在各井井壁处时 即干扰井群对各抽水井产生的降深 71 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 Q1 Q2 Qn QR1 R2 Rn Ri点的降深为 当各井的抽水量和影响半径均相等时 即 72 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 2 潜水井隔水底板水平的Dupuit公式为 令 线性化后叠加 j井单井抽水对i点产生影响为 73 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 n口井抽水时对I产生的影响为 求得ui后 解得hi 相当于 当各井的抽水量和影响半径均相等时 即 Q1 Q2 Qn QR1 R2 Rn Ri点的降深为 74 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 2 按一定的几何形状布置的干扰井群 1 相距为L的两口井 其流量Q和影响半径R均相等时承压水井 潜水井 75 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 2 布置在正方形的四个顶点上的四口井承压水井 潜水井 76 3 按半径为r的圆周均匀布置n口井如图几何关系 rw r12 r13 r1n nrw rn 1承压井 潜水井 3 6地下水向干扰井群的稳定运动 77 3 7均匀流中的井 前面给出的公式 不论是承压水还是潜水 都是假设抽水前地下水面是水平的 实际上 抽水前的地下水都是流动的 如果假设水流中的水力坡度和渗透速度为常数 这时水流为均匀流 以承压井为例讨论均匀流中的井 在平面图上建立如图坐标系 抽水井位于坐标原点 均匀流的方向为 x 渗透速度为 含水层的厚度为M 且均质各向同性 这一问题可分解为两个亚问题 一个亚问题是假设不存在抽水井的承压均匀流 第二个亚问题为假设初始承压水面为水平面时存在一半径为rw的抽水井 78 3 7均匀流中的井 假设原点处 抽水井处 水头为零 对于第一亚问题 均匀流 可视为一维流 直接用Darcy定律 因假设原点 x 0 处的水位为零 H 0 所以对于任一点 x y 上式变为 所以 79 3 7均匀流中的井 对于第二亚问题 利用Dupuit公式可求得任一点 x y 的水头 因为hw 0 井为原点 代入上式得 80 3 7均匀流中的井 对两个亚问题进行叠加 得原问题的解 此式为均匀流中的承压井的各点水位计算公式 81 3 7均匀流中的井 据此式可绘出流网 如图所示 在图内流网中 有一条分水线和一个驻点 停滞点 在分水线以内 地下水流向井中 在分水线以外 水向下游流走 而不进入井中 当x达到一定值时 分水线平行与x轴 将平行与x轴的分水线叫渐近线 渐近线方程 通过分水线之间的流量 Q 2yMv0