对高三数学复习(三角部分)的一些思考(提纲).doc

高三数学复习教学研讨交流材料对高三数学复习（三角部分）的一些思考（提纲） 三角是高中数学的重要内容，也是代数和几何的一种重要工具，是现行高考的考试内容。由于三角概念性强、知识点多、运算复杂等因素，很多学生感到困难，然而在教师看来，相对于其它数学内容恐怕又是比较简单的内容，但在教学中却成了难点，因此在复习教学中开展有效的复习是非常重要的。三角的复习主要有五个方面：三角的有关概念（角、三角比）、三角运算（三角恒等式）、三角函数、反三角函数及简单的三角方程、三角的应用（解斜三角形以及在代数、几何上的应用等）。三角函数是重点，而三角的有关概念和三角运算是难点也是关键。一、三角的有关概念1角（1）理解用弧度制度量角的本质和意义。（2）理解任意角、象限角的概念。（3）掌握终边相同的角、区间角的概念及表示方法。2三角比（1）掌握三角比的定义以及由三角比的定义得出的相关结论（三角函数的定义域、象限角的三角比的符号规律、特殊角的三角比的值等）。（2）理解单位圆上的点即，即单位圆上的点的横坐标等于，纵坐标等于，有助于利用单位圆根据正弦（余弦）值找到角的终边位置，或根据角（区间间）的位置确定正弦（余弦）的值（或范围）。（这里的终边经过点）二、三角运算(即三角恒等式)三角运算显然较代数的七种运算（加、减、乘、除、乘方、开方、对数）复杂得多，其复杂性主要体现在：公式多；公式复杂；公式运用技巧性强。1诱导公式（9组）。2同角公式（8个）。3不同角公式（两角和与差的三角恒等式）（8组：、辅助角公式；、万能公式、；（理）积化和差公式、和差化积公式）。 复习中要注意的问题：（1）准确理解公式、把握运算规律是关键，记忆公式是运用公式的必要前提；（2）在解决较复杂的三角式求值、化简及恒等式证明等问题中，掌握必要的运用公式的技巧必不可少，否则公式记得再多、再牢也无用武之地。主要（常用）技巧是解决三个“统一”，有：研究三角式中三角比的名称。切割化弦统一到弦；万能公式（或切的互化）统一到切；研究三角式中角的关系。和、差、倍、半统一到单角（或同一个角，即把某一个角作为基本量）；进行角的变换（配角），找出三角式中涉及到的角的和、差、倍、半、互补、互余等的关系；研究三角式中的代数式结构。如分式、平方、根式等，通过降幂、升幂或利用代数式恒等变形，实现代数式结构上的“统一”。（3）充分关注三角式变形的目的（目标）：化积（商）。化积（商）是代数式、三角式变形的一个重要问题，在代数中被称为因式分解。这是因为代数、三角研究的最根本的问题是函数、方程、不等式。由于高考、课标、教材对积化和差公式、和差化积公式的弱化（基本不作要求），使得三角运算的化积（商）的能力很有限，这也是现行三角内容考试要求不高的重要原因，也是我们觉得三角内容较高中其它数学内容相对比较简单的原因。然而化积（商）的变形思想却是十分重要的，这也是使得辅助角公式：这一化积公式在考试中显得更为常见（或更为重要）的原因。三、三角函数三角函数作为一类重要的基本初等函数，其难处主要在于其自变量（角）的理解比较困难和三角运算的复杂性（技巧性），而在函数意义上来说，与代数函数（幂、指、对函数）完全没有区别。只要对函数的概念（定义域、值域、对应法则（常为函数解析式）、反函数等）、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值、零点等）、函数的变换（常见为和函数、积函数、复合函数，图象的平移、对称、伸缩等）以及代数函数的研究内容和方法掌握得比较好，并把这些知识和方法有效地迁移到三角函数的研究中来，一般不会有太大的困难。如果说三角函数较代数函数更复杂（难）一些，主要是由于三角函数都具有周期性导致的，而三角函数的周期性的产生是由角在“形”的意义上的周期性导致的（在三角运算上体现为诱导公式）。1三角函数主要研究的问题（1）定义域问题；（2）值域问题；（3）对称性问题（奇偶性是对称性的特例）（中心对称、轴对称）；（4）单调性问题；（5）最值问题；（6）周期性问题；（7） 三角函数的图象及图象的变换问题，特别是形如的函数的研究；（8）与函数、方程、不等式有关的一些综合问题。2要特别关注的问题（这与代数函数有一定区别）（1）充分关注角。要能找得到角并会准确地表示角，在“形”的意义上即找到角在直角坐标系中终边的位置，一般来说，利用单位圆比较好，特别是已知正、余弦的值的情况；在“数”的意义上即找到轴上的横坐标，一般来说利用图象比较好，特别是研究对称性问题、三角函数的图象及图象的变换问题比较方便，而在研究其它问题时，我认为利用单位圆比较好（因为它更直观，看到了终边的位置）。（2）充分关注运算。一般地，为了研究较复杂的函数，通常总是通过三角运算化成形如：（这时“”可以是“” 、“” 、“”等）的形式。如果三角运算不过关，函数的研究自然会寸步难行。四、反三角函数及简单的三角方程由于现行高考、课标、教材对“反三角函数及简单的三角方程”的要求比较低，反三角函数的复习要求主要体现在对其概念的理解上，即：会利用反三角函数表示角。简单的三角方程则是在掌握三个最简三角方程的基础上，会解一些能通过简单的代数或三角运算转化成最简三角方程的方程。1注重对反三角函数概念的理解。如的三层涵义：它表示一个角；它表示一个在区间内的角；它的正弦值等于。2对反三角函数的图象和性质的研究要求可以低一些，特别是反三角的运算性质要求更低。3最简三角方程的解集公式（含方程有解的条件）是重点，这不仅是解三角方程的需要，也是已知三角比的值求角的需要。（我认为找“角”的工具有三：单位圆；三角函数图象；最简三角方程的解集公式）五、三角的应用1在三角形中的应用（也必然包含在平面几何和立体几何的研究中）。 （1）解斜三角形。主要是正、余弦定理，三角形面积公式等的应用。 （2）解与三角形有关的三角函数问题。它既要涉及到三角形中的边角关系，又要涉及到三角运算、三角函数，这是一个比较复杂、比较综合的问题，但由于积化和差公式、和差化积公式的弱化（基本不作要求），所以难度一般也不会太大。复习时应对三角形中的边角关系作一个全面梳理，显然正、余弦定理处于核心地位，利用正、余弦定理实现边与角的转化往往是解决问题的关键。2在代数和解析几何中的应用。（可以渗透，但要求不要太高） 三角是解决代数和解析几何问题的十分重要的工具，主要体现在“三角代换”。1在代数中的运用。如（用，或代换）、（用，或代换）、（用，或代换），使代数问题三角化；万能公式是沟通三角与代数的一座桥梁，万能代换使三角问题代数