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文档简介
反证法与放缩法教学案学习目标:1、理解掌握反证法放缩法的基本原理和思路2、会用上述方法证明一些简单的不等式.学习重点:掌握反证法放缩法的基本原理和思路.学习难点:用反证法放缩法证明一些简单的不等式.一、基本知识1.反证法先假设要证明的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到矛盾,说明假设不正确,从而间接说明原命题成立的方法.2放缩法在证明不等式过程中,有时为了证明的需要,可对有关式子适当进行放大或缩小实现证明.例如:要证bc,只须寻找b1使ba,只须寻找b2使bb2且b2a(缩小).这种证明方法,我们称之为放缩法.放缩法的依据就是传递性.二、典例分析: 例1、已知且试证:中至少有一个小于2.证:反证法,假设都不小于2,即因为所以,相加得,这与已知矛盾所以原命题成立.例2、已知a + b + c 0,ab + bc + ca 0,abc 0, 求证:a, b, c 0 证明:反证法,假设不全大于0,则中至少有一个不大于0,由题意不妨设(1)若,则与已知矛盾.(2)若,因为,所以,又因为所以矛盾.同理可证综上所述原命题成立.例3、若a, b, c, dR+,求证:证明:因为,所以,以上三式相加得:即例4、已知 ,求证: 【证法一】左式=右式【证法二】左式=右式三、课堂小结1、反证法证题的步骤: 若A成立,求证B成立.共分三步:(1)提出与结论相反的假设;如负数的反面是非负数,正数的反面是非正数即0和负数(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;(必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错)(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.矛盾:与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾.2、放缩法的意义:放缩法发理论依据是不等式的传递性:若,则放缩法的操作:若求证,先证再证恰有.需注意:(1)只有同方向才可以放缩,反方向
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