江西景德一中高一数学上学期期末考试

江西省景德镇一中2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】首先确定全集，而后由补集定义可得结果【详解】解：，又， 故选：B【点睛】本题考查了集合的补集，熟练掌握补集的定义是解决本题的关键，属于基础题型.2.已知直线和互相平行，则实数的取值为（）A. 或3B. C. D. 1或【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】两条直线x+my+6=0和（m2）x+3y+2m=0互相平行，解得 m=1，故选：B【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，则， 3.若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】联立两直线方程得： 解得：x=，y=所以两直线的交点坐标为因为两直线的交点在第一象限，所以得到解得 所以直线的倾斜角的取值范围是故选C4.已知函数，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题中条件，推导出，由此能求出的值【详解】解：函数，故选：A【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.已知函数，则的零点所在的区间是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合零点存在定理确定的零点所在的区间即可.【详解】由题意可知函数在上单调递减，且函数为连续函数，注意到，结合函数零点存在定理可得的零点所在的区间是.本题选择C选项.【点睛】应用函数零点存在定理需要注意：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上只有一个零点.6.设，满足约束条件，则的最小值与最大值分别为（）A. ，B. 2，C. 4，34D. 2，34【答案】D【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，判断最大值与最小值时的位置求出最值即可【详解】解：由，满足约束条件表示的可行域如图，由，解得的几何意义是点到坐标原点的距离的平方，所以的最大值为，的最小值为：原点到直线的距离故选：D【点睛】本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力，属于常考题型.7.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆的圆心在直线上，设圆心为.圆与直线及都相切，所以，解得.此时半径为：.所以圆的方程为.故选B.8.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，此几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据四棱锥的体积公式即可求出结果。【详解】根据三视图可将其还原为如下直观图，=，答案选C。【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸。9.设，满足约束条件，且目标函数仅在点处取得最大值，则原点到直线的距离的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出可行域，由目标函数仅在点取最大值，分，三种情况分类讨论，能求出实数的取值范围然后求解到直线的距离的表达式，求解最值即可【详解】解：由约束条件作出可行域，如右图可行域，目标函数仅在点取最大值，当时，仅在上取最大值，不成立；当时，目标函数的斜率，目标函数在取不到最大值当时，目标函数的斜率，小于直线的斜率，综上，原点到直线的距离则原点到直线距离的取值范围是：故选：B【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意线性规划知识的合理运用.10.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作函数的图像,得 ,所以 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等11.如图，在平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积【详解】解：由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，所以球的表面积为：故选：B【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力12.已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将不等式转化为对应函数最值问题：,再根据函数单调性求最值，最后解不等式得结果.【详解】因为对任意，总存在，使得，所以,因为当且仅当时取等号,所以，因为,所以,选C.【点睛】对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果实数满足条件，那么的最大值为 【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，z最大是1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了简单线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题14.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的方程是_【答案】或【解析】设所求直线方程为 ，将点代入上式可得或.考点：直线的方程15.对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是 【答案】【解析】为单调递增函数, ,所以零点在0,2当时 舍去;当时 舍去;当时 综上实数的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接讨论法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解16.已知，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_【答案】4【解析】由题意可知，当时，有，所以，所以。点睛：本题考查基本不等式的应用。本题中，关于的不等式恒成立，则当时，有，得到，所以。本题的关键是理解条件中的恒成立。三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，（）当时，求；（）若，求实数的值【答案】（），（）m的值为8【解析】由 ，（）当m=3时，则（），此时，符合题意，故实数m的值为818.直线过定点，交、正半轴于、两点，其中为坐标原点.（）当的倾斜角为时，斜边的中点为，求；（）记直线在、轴上的截距分别为，其中，求的最小值.【答案】()；()9.【解析】【分析】()首先求得直线方程与坐标轴的交点，然后求解的值即可；()由题意结合截距式方程和均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】（），令令，.（）设，则，当时，的最小值.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误19.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点（）证明：平面；（）设，三棱锥的体积，求到平面的距离【答案】（）详见解析；（）.【解析】【分析】（）设与 的交点为，连结，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；（）通过，三棱锥的体积，求出，作角于，说明就是到平面的距离通过解三角形求解即可【详解】解：（）证明：设与 的交点为，连结，是矩形，为的中点为的中点，平面，平面平面；（），三棱锥的体积，作交于，由题意可知平面，故平面又在三角形中，由射影定理可得：所以，到平面的距离【点睛】本题考查直线与平面平行，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，需要熟记线面平行的判定定理等，属于常考题型.20.在中，已知，直线经过点()若直线:与线段交于点，且为的外心，求的外接圆的方程；()若直线方程为，且的面积为，求点的坐标【答案】（） （）或【解析】【分析】（）先求出直线的方程，进而得到D点坐标，为直径长，从而得到的外接圆的方程；（）由题意可得，从而解得点的坐标【详解】（）解法一：由已知得，直线的方程为，即， 联立方程组得：，解得， 又，的外接圆的半径为 的外接圆的方程为 解法二：由已知得，,且为的外心，为直角三角形，为线段的中点，圆心，圆的半径, 的外接圆的方程为. 或线段即为的外接圆的直径，故有的外接圆的方程为，即（）设点的坐标为，由已知得，, 所在直线方程， 到直线的距离， 又点的坐标为满足方程，即 联立解得：或，点的坐标为或【点睛】本题考查了圆的方程，直线的交点，点到直线的距离，考查了逻辑推理能力与计算能力，属于基础题.21.如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）通过和得到 平面，利用等腰三角形的性质可得，可得结论；（2）过点作，垂足为，连接，证得是二面角的平面角，在中先求出，然后在中求出结论.试题解析：(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故.由条件，平面.又平面，.由，可得.是的中点，.又，综上得平面.（2）过点作，垂足为，连接，由（1）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，可得设，可得，在中，则 ，中，.22.如图，已知圆的圆心在坐标原点，点是圆上的一点（）求圆的方程；（）若过点的动直线与圆相交于，两点在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）；（）【解析】【分析】()设圆的方程为，将代入，求得，从而可得结果；()先设，由可得，再证明对任意，满足即可，则利用韦达定理可得， ，由角平分线定理可得结果.【详解】()设圆的方程为，将代入，求得，所以圆的方程为；()先设，由 由（舍去）再证明对任意，满足即可，由，则则