推理和证明在数学学习中的重要性.doc

推理与证明在数学学习中的重要性山东淄博第十五中学数学组 李刚推理与证明这一章，在我国高中教材中还是首次出现，主要通过实例引起学生对“推理”的兴趣，并引导学生理解各种推理的作用。能够运用推理去探索、猜测和归纳出一些数学结论，并能证明结论的正确性。重点是通过分析一些定理的证明过程，总结并让学生掌握数学证明的一些基本方法。推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。本章的知识构图如下：演绎推理 分析法推理与证明推理证明合情推理直接证明数学归纳法间接证明 比较法类比推理归纳推理 综合法 反证法知识结构 在人们的工作和生活中，总是要依靠大脑的思维，对自己的言行作出选择，对他人的言行作出判断； 按照新课标要求，为高中阶段的学生开设了“推理与证明”的课程，是为了提高未来公民的素质，使人们养成言之有理，论证有据的习惯。尽管学生在学习推理时，会将推理分类为合情推理和演绎推理，又会将合情推理分类为归纳推理和类比推理，在学习证明时，会将证明分类为分析法、综合法和反证法等方法，但是人们在处理实际问题的思维过程中，各种推理类型和证明方法是很难区分，它们互为补充，相互作用，共同推动着人们思维的发展和帮助人们解决实际问题，并且有时候我们得到的结论具有多样性和不可靠性。例1：德国地质学家魏格纳经过长期观察，发现南美洲的东海岸和非洲的西海岸非常相似，两者是否存在某种联系呢？他不断收集更多的信息，并加以思索，他提出猜想，认为两块陆地原来就是拼合在一起的，只是后来才像水中断裂的两块木版一样，断裂并漂移开来，这样两海岸相似的现象，就能得到合理解释。于是，魏格纳提出了大陆构造的板块漂移学说。分析：魏格纳通过长期观察、不断收集信息和深入思索，得出两海岸相似的结论，并提出猜想的过程，正是他运用合情推理中归纳推理的过程；魏格纳由漂在水中的断裂开来的两块木板，联想到在海洋中，断裂并漂移开来的两块陆地的过程，正是他运用合情推理中类比推理的过程。开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密”。合情推理具有的积极意义，能够帮助人们提出新的想法，提高人们的创造能力和创新精神。例2：“邻人疑斧”在中国是一个几乎家喻户晓的成语故事。话说有人丢了一把斧子，怀疑邻居偷了，于是越看越象。直到斧子在柴房被找到后，再看邻居，才怎么看邻居也不象偷斧之人了。如果说故事中的主角只是单纯的个人狭隘心理，那末产生这种心理的原因又是什么呢？可能正是“推理与证明”！丢斧之初，丢斧之人曾联想到与邻居一次偶遇的情景，当时邻居看到他携带着新买的斧头，带着极为羡慕的眼光，夸赞道：“你的斧头一定很锋利、很好用”，当时，丢斧之人还骄傲地回答道：“那是自然，新斧头嘛！”；这正是丢斧之人，怀疑邻居偷了他的斧头，且越看越象的原因。在这段时间内，丢斧之人在他的大脑思维过程中，进行了一次合情推理和证明。分析：当斧子在柴房被找到后，丢斧的人才忽然想起，许久以前的一天，自己在柴房里干活，干到实在困乏的时候，就顺手将斧头丢在了柴房里不起眼的角落，离开柴房休息去了；这正是丢斧头的人，再看邻居，怎么看邻居也不象偷斧之人了的原因了。在这段时间内，丢斧之人在他的大脑思维过程中，进行了一次演绎推理和证明。合情推理的消极意义是，具有不可靠性，容易使证明成为伪证明。例3：找规律，请在（ ）内填数：1，2，4，7，（ ）。下面是几个小学生，用合情推理给出的猜测性答案。甲：1+2+4=7，2+4+7=（ ），即（ ）=13乙：1+2+1=4，2+4+1=7，4+7+1=（ ），即（ ）=12丙：2-1=1，4-2=2，7-4=3，（ ）-7=4，即（ ）=11下面是几个初中学生（参加过竞赛辅导），用合情推理给出的猜测性答案。原问题可以转化为：若设a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，则a5=（ ）甲：a1+a2+a3=a4=7，a2+a3+a4=a5=13，乙：a1+a2+1=a3=4，a2+a3+1=a4=7，a3+a4+1=a5=12丙：a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，a5-a4=4，a5=11分析：从以上我们获知，合情推理的结果具有多样性。我们学习“推理与证明”的课程，就是希望学生能站在思维的高度，掌握“推理与证明”的积极因素和方法，形成可靠的、科学的证明，避免证明中的不可靠性。推理与证明在人们的认识过程中和数学研究中乃至数学学习中有着巨大的作用，它可以使我们获得新的知识，也可以帮助我们论证或反驳某个论题，法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具