3.1.1空间向量及其加减运算

3 1 1空间向量及其加减运算 空间向量的基本概念及加减乘运算 一 平面向量复习 定义 既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法 用有向线段表示 字母表示法 用字母a b等或者用有向线段的起点与终点字母表示 相等的向量 长度相等且方向相同的向量 平面向量的加减法运算 向量的加法 a b a b 平行四边形法则 a a b 三角形法则 首尾相连 向量的减法 a b a b 三角形法则 减向量终点指向被减向量终点 平面向量的加法运算律 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c 推广 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 即 首尾相接的若干向量构成一个封闭图形 则它们的和为零向量 即 平面向量 空间向量 具有大小和方向的量 具有大小和方向的量 几何表示法 几何表示法 字母表示法 字母表示法 向量的大小 向量的大小 长度为零的向量 长度为零的向量 模为1的向量 模为1的向量 长度相等且方向相反的向量 长度相等且方向相反的向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相同的向量 定义 表示法 向量的模 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 一 空间向量的基本概念 a b a b O A B b 结论 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内 内 成为同一平面内的两个向量 思考 空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内 为什么 O 2 空间向量的加法 减法向量 a b a b 空间向量加法运算律 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b b c 对空间向量的加法 减法的说明 空间向量的运算就是平面向量运算的推广 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加 推广 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 即 首尾相接的若干向量构成一个封闭图形 则它们的和为零向量 即 例1 给出以下命题 1 两个空间向量相等 则它们的起点 终点相同 2 若空间向量满足 则 3 在正方体中 必有 4 若空间向量满足 则 5 空间中任意两个单位向量必相等 其中不正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 C 变式 如图所示 长方体中 AD 2 AA1 1 AB 3 1 是写出与相等的所有向量 2 写出与向量的相反向量 平行六面体 平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体 叫做平行六面体 记作ABCD A1B1C1D1 它的六个面都是平行四边形 每个面的边叫做平行六面体的棱 a 例如 三 空间向量的数乘运算 3 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 始点相同的三个不共面向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 例3 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 求满足下列各式的x的值 例4 如图所示 在正方体中 下列各式中运算的结果为向量的共有 A 1B 2C 3D 4 变式 平面向量 概念 加法减法数乘运算 运算律 定义 表示法