第4章 不定积分

1 第四章导数的应用 4 1微分中值定理 4 2洛必达法则 4 3函数的增减性和判定法则 4 5函数的凹凸性及作图简介 4 4函数的极值 4 6 函数的最值及应用 4 7导数在经济分析中的应用 2 上一章研究了函数随自变量变化的速度 并且掌握了基本的求导方法 本章 将利用导数来研究函数以及曲线的某些性态 并解决一些实际的问题 为此 先学习微分 中值定理 导数 微分中值定理是建立函数与导数联系的纽带 4 1微分中值定理 3 定理4 1费马引理 费马Fermat 法 1601 1665 有定义 如果对 那么 证 对于 有 4 由极限的保号性 函数的 驻点 稳定点 临界点 5 本节的几个定理都来源于下面的明显的 至少有 与连接此曲线两端点的弦 平行 几何事实 一点处的切线 连续的曲线弧 除端点外处处有不垂直于x轴的切线 有水平的切线 6 拉格朗日Lagrange 法 1736 1813 定理4 2拉格朗日中值定理 1 2 使得 7 几何解释 在该点处的切线 平行于弦 8 分析图中有向线段NM的值 1 NM的值是x的函数 2 在两个端点A B处NM的值 3 NM的值的表达式是什么 4 直线AB的方程是什么 AB的斜率 经过点 所以AB的方程为 所以NM的值为 9 在 a b 连续 注意到 从而在 a b 上存在最值 如果最大值和最小值在端点a b处取得 导数处处为零 结论成立 10 Lagrange公式可以写成下面的各种形式 它表达了函数增量和某点的 但是增量 这是十分方便的 由 3 式看出 导数之间的直接关系 导数是个等式关系 拉格朗日中值定理又称 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式 有限增量定理 11 它表明了函数在两点处的函数值 的单调性及某些等式与不等式的证明 在微分学中占有 极重要的地位 与导数间的关系 今后要多次用到它 尤其可利用它研究函数 拉格朗日中值定理又称微分中值定理 12 罗尔定理 1 2 3 使得 罗尔Rolle 法 1652 1719 例1 13 例2 平均速度 假设一个百米运动员跑100米的过程 如果用时是10秒 则有 表示这个运动员的平均速度是每秒10米 运动员起跑时速度低 而冲刺时速度都很高 所以速度不是匀速的 在跑的途中应至少有一个时刻 平均速度 用函数表示 在该时刻的速度为 即 14 推论1 证 根据拉格朗日中值定理 由条件 即在区间I中任意两 点的函数值都相等 所以 应用拉格朗日中值定理可得到两个重要推论 15 推论2导数处处相等的两个函数只相差一个常数 即若 则 利用推论1可以证明 16 例3 解 即 17 例4 证 由上式得 设 由 关键 满足Lagrange定理的条件 18 例5 证明 证明 则对任意 有 所以 又 故有 设 19 拉格朗日定理表明 光滑的曲 线上至少有一点C 使得过C的切 线平行于弦AB 如果此时弧AB由 参数方程确定 1 曲线上点 X Y 处的切线斜率为 2 点A的坐标为 F a f a 点B的坐标 F b f b 所以弦AB的斜率为 20 柯西Cauchy 法 1789 1859 例6柯西中值定理 1 2 使得 广义微分中值定理 21 例 证 分析 结论可变形为 即 满足柯西中值定理条件 22 罗尔定理 拉格朗日中值定理 罗尔 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理 柯西 Cauchy 中值定理之间的关系 推广 推广 这三个定理的条件都是充分条件 换句话说 满足条件 不满足条件 定理可能成立 不是必要条件 而 成立 不成立 定理 也可能 23 这一节介绍一个求未定式极限的有效方法 此方法的关键是将 的计算问题转化为 的计算 其基本思想是由17世纪的法国 从而产生了简便而重要的 洛必达法则 后人对他的思 数学家洛必达 L Hospital 提出的 想作了推广 4 2洛必达法则 24 其极限都不能直接利用极限运算 在第二章中看到 无穷大之商 法则来求 那末极限 定义 型未定式 或 如 意味着它的极限可能存在也可能不存在 未定 两个无穷小之商或两个 两个函数 f x 与F x 都趋于零或趋于无穷大 而不是极限不确定 25 定理4 3 26 证 与f a 和F a 无关 由于 假定 27 柯西定理 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 这种在一定条件下 通过分子分母分别求导 28 例 解 例 解 29 多次用法则 30 则 31 例 解 32 例 解 注1 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用 33 例 解 极限不存在 洛必达法则失效 注2 当导数比的极限不存在时 不能断定函数比的极限不存在 只表明不能使用洛必达法则 34 不是未定式 例 注3 不是未定式 不能使用法则 35 注4 可能永远得不到结果 教材中例10 其实 例 36 例 解 步骤 关键 或 将其它类型未定式化为洛必达法则可 解决的类型 其它类型的未定式 37 例 解 38 例 解 步骤 39 步骤 例 解 3 型未定式 40 例 解 41 例 解 数列的极限 由于 是 中的一种特殊情况 所以有 不能用洛必达法则 42 本节小结 一 二 三 注意 但求某些未定式极限不要单一使用洛必达 应将所学方法综合运用 各类未定式极限问题 洛必达法则是最常用 的工具 法则 三大类未定式 43 定理1 单调增加 单调减少 4 3函数的增减性和判定法则 44 证 Lagrange中值定理 1 2 此定理不论对于开 闭 有限或无穷区间都正确 45 例 解 定义域为 练习 46 求函数单调区间的方法 问题 如上例 函数在定义区间上不是单调的 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 然后判定区间内导数 的符号 的分界点 但在各个部分区间上单调 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间 47 例 解 定义域 单调区间为 48 例 解 单调区间为 定义域 49 区间内有限个点处导数为零 如 不影响区间的单调性 单调增加 表明 导数的零点仅仅可能是单调区间的分界点 同样 导数不存在的点 也仅仅可能是单调区间 的分界点 这些点两侧的函数单调性需要通过导数 的符号进一步判断 50 例 证 练习 提示 51 定义 极大值 或极小值 函数的极大值与极小值统称为 极值 极值点 4 4函数的极值 1 函数极值的定义 使函数取得极值的点x0 自变量 称为 52 函数的极大值 极小值 是局部性的 在一个区间内 函数可能存在许多个极值 最大值与最小值 有的极小值可能大 于某个极大值 只是一点附近的 53 定理4 5 必要条件 如 1 可导函数的极值点 驻点却不一定是极值点 但函数的 2 极值的必要条件 必是驻点 费马引理 如果函数 可导 处取得最值 那么 回忆 极值 54 极值点也可能是导数不存在的点 即奇点 如 但 怎样从驻点与奇点中判断一点是不是极值点 单减的分界点 2 不可导 是极小值点 若x0是连续函数f x 单增 则x0必为极值点 几何上 即 极值点可能在两类点中取到 一阶导数零点 一阶导数不存在的点 55 定理4 6 则 为极大值 则 不是极值 极小值 3 极值的充分条件 内可导 56 一般求极值的步骤 求导数 求驻点与奇点 求相应区间的导数符号 判别增减性 求极值 1 2 3 4 不是极值点 57 例 解 1 2 驻点 奇点 3 列表 求相应区间的导数符号 判别增减性 确定极值点和极值 58 非极值 极小值 不存在 极大值 驻点 导数不存在的点 单调增加区间 单调减少区间 59 定理 第二充分条件 证 极大值 极小值 因此 当 充分小时 由极限的保号性 可见 与 异号 所以 第一充分条件 自己证极小值情形 60 例 解 61 仍用第一充分条件 定理3 第二充分条件 不能 应用 事实上 可能有极大值 也可能有极小值 也可能没有极值 如 分别属于上述三种情况 62 63 在初等数学中 对于任意 曲线凹凸性的概念 凸曲线的函数值总满足 而凹曲线的函数值总满足 在高等数学中 要用导数研究曲线的凸凹性 而切线与导数有 直接联系 因此可以从曲线的几何特征出发 定义曲线的凸凹性 64 65 66 定理4 7曲线凹凸性判定法设函数 在某区间内二阶 可导 如果在这个区间内有 是凹的 如果在这个区间内有 则函数曲线在这个区间内 则函数曲线在这个区间 内是凸的 如果二阶导数在点 左右异号 则点 曲线的拐点 是 称 的点为二阶驻点 不存在的点为二阶奇点 拐点只能在二阶驻点和二阶奇点对应的曲线点上 确定函数曲线的凹凸性与拐点与求解极值的步骤类似 67 例21 讨论函数 的凹凸性与拐点 解 函数的定义域为 令 得二阶驻点 以二阶驻点划分定义区间 列表讨论二阶导数的正负号与曲线 无二阶奇点 的凹凸性 拐点 68 例22 已知 讨论 和凸凹区间 的单调区间 解 令 得驻点 得二阶驻点 列出下表 拐点 69 70 例23 作函数 的图形 解 的定义区间为 是奇函数 图形关于 原点对称 所以只需讨论x 轴正向的作图 且曲线以x轴 渐近线 无斜渐近线 又由 为水平 得一阶驻点 无一阶奇点 得二阶驻点 无二阶奇点 以一 二阶驻点划分函数的定义区间 列表讨论函数的单调性 极值 曲线的凹凸性和拐点 71 4 2 2 4 0 4 0 2 0 2 0 4 72 4 6 函数的最值及应用 一般函数的最值 如果函数 在 上连续 则必取得最大值和最小值 最大值 最小值必在极值和边界值中取到 所以只需求出所有极 值和边界值 进行比较 即可求得最大值和最小值 和 例24 求函数 在区间 3 3 上的最值 解 由 得驻点 均在 3 3 内 求出 所以该函数在 3 3 上的最大值为 最小值为 73 例25 求 对于非闭区间上连续函数的最值 可以利用函数的最值与极值 的关系 通过考察函数的变化趋势确定出函数有无最值 解 在前例中已得到 的最值 是极小值 是极大值 由于函数定义域是无穷区间 所以要考虑 时 函数的 趋势变化 因为 所以以上极大值就是最大值 就是最小值 极小值 74 75 76 于是由 得唯一驻点 而容积一定 最小表面积是存在的 所以取圆柱体的底半径为 高为 时制作圆柱形容器用料最省 可以发现易拉罐基本符合这样的 观测市场上易拉罐形饮料 定容量的底高比 77 例26 某房产公司有50套小型楼房要出租 当每套月租金为360 元时 楼房会全租出去 而当每套月租金增加20元时 就有一套 租不出去 又租出去的房子每月需花费40元的维护费 问房月租金 定为多少时可获最大收益 解 建立关于每套月租金的总收益函数 设每套房的月租金为x元 租出的套数 与月租金有关 设可租出去的房子为c x 租金增加20元时 就有一套租不出去 可知c x 为线性函数 于是 由 每套月 设c x ax b 由 当每套月租金为360元时 楼房会全租出去 代入 和 求出 月出租房的总收益函数模型为 从而 78 79 80 实用中 边际函数的经济学意义是 当主经济变量 改变一个 单位时 目标经济变量 近似改变 个单位 近似地描述了目标 经济变量 对主经济变量 的变化量 在应用时 常常把 近似 二字去掉 就用边际值 表示目标变量在 处的变化量 例如 经济函数为 其边际函数为 则 表示当主经济变量在 处改变一个单位时 目标经济变量 改变40个单位 81 边际成本生产或经营成本一般由固定成本和可变成本构成 表示为函数 其中 为固定成本 可变成本 为产量 或商品量 则边际成本函数为 为 边际成本近似描述总成本的变化量 表示当产品量增加一个单位 时所增加的总成本 例28 已知生产某产品的成本函数为 单位百元 求 1 边际成本函数 2 说明其经济意义 解 1 边际成本函数为 2 表示在产量 的水平上 再多生产 一件 所增加的成本为900元 82 83 边际利润生产销售产品所获得的纯收入 称为利润 在产品价格 一定的条件下 利润一般是产品量的函数 表示为 从而边际利润为 1 取最大利润的必要条件为 利用极值原理 有如下结论 即 取最大利润的必要条件为边际收益等于边际成本 2 取最大利润的充分条件为 因此 即 因此取最大利润的充分条件是边际收益的变化率小于边际成本的 变化率 84 例30 某企业生产销售产品的利润函数为 求生产量为20 25 30 个单位时的边际利润 产品量为何时 可 获最大利润 解 边际利润函数为 则生产量为20 25 30 个单位时的边际利润分别为 这说明 当产量为20个单位时 再增加产量1个单位 利润将增加 50个单位 当产量为25个单位时 再增加产量 利润不再增加 当产量为35个单位时 再增加产量1个单位 利润将减少50个单位 令 得唯一驻点 且 所以当产量为 个单位时 可获最大利润 85 函数在一点处的改变量或变化率描述的是函数在一点处的绝对 弹性分析 变化量 而在许多实际问题中 还需要考虑相对变化量的问题 例如 甲产品的单位价格为20元 乙产品的单位价格为200元 当 二产品的单价都涨价1元时 说的是它们单价的绝对变化量都是 1元 此时我们对二个产品的涨价幅度的大小是比较模糊的 但当 用相对变化量 作比较时 问题就清晰 了 甲种产品的涨价幅度要远比乙种产品的涨价幅度大 在经济问题分析中 更重要的是要研究联系两个经济量的函数 的相对变化量关于 的相对变化量的变化问题 即 所谓的弹性分析问题 86 设主经济变量为 目标经济变量为 联系这两个经济量的函数 对 处的改变量 的相对改变量为 函数 的相对改变量为 则 的相对改变 为 量与 的相对改变 的相对改变量 之比 描述 从 到 两点间的相对平均 变化率 称为函数 从 到 两点间的弹性 记作 如果 是 的可导函数 则极限 描述的是 对 的相对变化率 在经济学中称为函数 对 的弹性函数 简称为弹性 记作 87 弹性的经济学意义 由 当取 时 即 改变1 个单位时 近似的改变 个单位 描述 的是随着 的变化 函数 变化幅度的大小 反映函数 变化的敏感度 对 88 例如 经济函数 当 从2 变化到6时 相对改变量为 的 的相对改变量为 则 从 到 两点间的弹性为 在点 处的弹性为 表示当 时 再增加 或减少 1 则 从 处再增加 或减少 89 需求价格弹性在经济学中 以买方的观点 把市场对产品 商品 的需求量关于价格的经济函数 称为需求函数 其中 是产品需求量 是产品价格 经济市场的实践表明 需求函数是减函数 即一般反应为 产品 价格低 需求量增加 反之 产品价格高 需求量就会减少 这 同时也说明 市场产品需求量对价格的反应是很敏感的 因此需要 研究描述这种敏感性的数学模型 这就是所谓的需求弹性 设需求函数 关于价格 的可导函数 则把 称为需求量 从价格 到 两点间的需求价格弹性 90 把 称为需求量 在价格 处的需求价格 弹性 简称为需求弹性 需求弹性的意义是 当价格从