3.1.1变化率问题

3 1变化率与导数 第一课时 教学过程 一引入 谁是导数概念的第一发明人 二传授新课 学习活动 每人配备一个气球 以学习小组的形式 吹气球 观察 并思考 吹气球 每次都吹入差不多大小的一口气 观察 气球变大的速度 思考 每次吹入差不多大小的气体气球变大的速度一样吗 为什么 对思考的问题给一个科学的回答 就需要把这个生活现象从数学的角度 用数学语言进行描述 解决问题 对一种生活现象的数学解释 当空气容量 从 增加 时 半径增加了 r 1 r 0 0 62 气球的平均膨胀率为 当空气容量V从1L增加到2L 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当空气容量 从 增加 时 半径增加了 r 1 r 0 0 62 气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大 它的平均膨胀率逐渐变小 当空气容量V从1L增加到2L 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当空气容量 从 增加 时 半径增加了 r 1 r 0 0 62 气球的平均膨胀率为 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 现有温州市某年3月和4月某天日最高气温记载 观察 3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化 用曲线图表示为 注 3月18日为第一天 问题 问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 问题2 如何量化 数学化 曲线上升的陡峭程度 1 曲线上BC之间一段几乎成了 直线 由此联想如何量化直线的倾斜程度 2 由点B上升到C点 必须考察yC yB的大小 但仅仅注意yC yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度 为什么 在考察yC yB的同时必须考察xC xB 函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变 3 我们用比值近似地量化B C这一段曲线的陡峭程度 并称该比值为 32 34 上的平均变化率 4 分别计算气温在区间 1 32 32 34 的平均变化率 现在回答问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 探究活动 气球的平均膨胀率 是一个特殊的情况 气温陡增 也是一个特殊的情况 我们把这一思路延伸到函数上 函数的平均变化率 定义 平均变化率 式子称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 令 x x2 x1 y f x2 f x1 则 探究活动 思考 平均变化率的几何意义 flash动画演示 两点间的斜率 例 荣勃去崩极 假设荣勃下降的运动符合方程 请同学们计算荣勃从3秒到4秒间的平均速度 计算从9秒到10秒的平均速度 实践活动 探究活动 观看十运会中跳水男子十米台田亮逆转夺冠的影片剪辑 请同学们把这一生活现象用数学语言来解释 你能描绘出田亮重心移动的图像吗 实践活动 假设相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 那么田亮在0秒到0 5秒时间段内的平均速度是多少 在1秒到2秒时间段内呢 在时间段内呢 小结 1 变化率的概念 2 注意发现生活中和变化率有关的例子 课外思考 思考 关于田亮跳水的例子 当我们计算田亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数 负数 0的时候 其运动状态是怎样的 能不能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态呢 理解 1 式子中 x y的值可正 可负 但的 x值不能为0 y的值可以为02 若函数f x 为常函数时 y 03 变式 练习 1 甲用5年时间挣到10万元 乙用5个月时间挣到2万元 如何比较和评价甲 乙两人的经营成果 2 已知函数f x 2x 1 g x 2x 分别计算在下列区间上f x 及g x 的平均变化率 1 3 1 2 0 5 做两个题吧 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1 x 2 y 则 y x A 3B 3 x x 2C 3 x 2D 3 x D 2 求y