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导数 常见题型 1 例2 已知P为抛物线y x2上任意一点 则当点P到直线x y 2 0的距离最小时 求点P到抛物线准线的距离 例1 1 求过点 1 1 且与曲线y 相切的直线方程 2 求过点 2 0 且与曲线y 相切的直线方程 一 导数的几何意义 切线的斜率 注 所给点是否在曲线上 2 例3 确定函数y 2x3 6x2 7的单调区间 用导数法确定函数的单调性时的步骤是 1 求出函数的导函数 2 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递增区间 3 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递减区间 注 单调区间不以 并集 出现 二 判断函数单调性 求单调区间 练习 求函数f x ln x2 6x 7 的单调增区间 注 单调区间应在 定义域 内 3 三 求函数的极值 最值 1 求导函数f x 2 求解方程f x 0 3 检查f x 在方程f x 0的根的左右的符号 并根据符号确定极大值与极小值 口诀 左负右正为极小 左正右负为极大 用导数法求解函数极值的步骤 例4 已知函数f x x3 ax2 bx c在x 2 3与x 1处都取得极值 1 求a b的值 2 若x 1 2 时 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 练习 若函数f x x3 bx2 cx在 0 及 2 上都是增函数 而在 0 2 上是减函数 求此函数在 1 4 上的值域 4 例5 如图 在二次函数f x 4x x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD 求这个矩形的最大面积 解 设B x 0 0 x 2 则A x 4x x2 从而 AB 4x x2 BC 2 2 x 故矩形ABCD的面积为 S x AB BC 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以当时 因此当点B为时 矩形的最大面积是 练习 已知x y为正实数 且x2 2x 4y2 0 求xy的最大值 5 例6 证明不等式 证 设 则 令 结合x 0得x 1 而01时 所以x 1是f x 的极小值点 所以当x 1时 f x 取最小值f 1 1 从而当x 0时 f x 1恒成立 即 成立 四 不等式的证明 6 解 设细杆与另一走廊一边夹角为又设另一走廊的宽为y 令 由于y 只有一个极小值 所以它是最小值 这时 故另一走廊的宽度至少是 五 导数的实际应用 7 小结 1 要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法 2 要认识导数应用的本质 强化应用意识 3 认真梳
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