《模糊数学简介》PPT课件.ppt

模糊数学建模方法 于鹏陕西科技大学理学院 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法 众所周知 经典数学是以精确性为特征的 然而 与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的 没有价值的 甚至可以这样说 有时模糊性比精确性还要好 例如 要你某时到某地去迎接一个 大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人 尽管这里只提供了一个精确信息 男人 而其他信息 大胡子 高个子 长头发 宽边黑色眼镜 中年等都是模糊概念 但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断 就可以接到这个人 第一部分模糊数学基本概念 1 1模糊集合的基本定义1 2模糊集合的截集1 3模糊关系1 4模糊等价关系与经典等价关系 y 1 1模糊子集及其运算 模糊子集与隶属函数 设U是论域 称映射A x U 0 1 确定了一个U上的模糊子集A 映射A x 称为A的隶属函数 它表示x对A的隶属程度 当映射A x 只取0或1时 模糊子集A就是经典子集 而A x 就是它的特征函数 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形 例1设论域U x1 140 x2 150 x3 160 x4 170 x5 180 x6 190 单位 cm 表示人的身高 那么U上的一个模糊集 高个子 A 的隶属函数A x 可定义为 也可用Zadeh表示法 例2古代史的分期 指划分奴隶社会和封建社会的界限 是模糊的 可表示为模糊集 模糊集的运算 相等 A B A x B x 包含 A B A x B x 并 A B的隶属函数为 A B x A x B x 交 A B的隶属函数为 A B x A x B x 余 Ac的隶属函数为Ac x 1 A x 1 2模糊集的基本定理 模糊集的 截集A 是一个经典集合 由隶属度不小于 的成员构成 例 论域U u1 u2 u3 u4 u5 u6 学生集 他们的成绩依次为50 60 70 80 90 95 A 学习成绩好的学生 的隶属度分别为0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 95 则 A0 9 90分以上者 u5 u6 A0 6 60分以上者 u2 u3 u4 u5 u6 1 3模糊关系 与模糊子集是经典集合的推广一样 模糊关系是普通关系的推广 设有论域X Y X Y的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系 模糊子集R的隶属函数为映射R X Y 0 1 并称隶属度R x y 为 x y 关于模糊关系R的相关程度 特别地 当X Y时 称之为X上各元素之间的模糊关系 模糊关系的运算 由于模糊关系R就是X Y的一个模糊子集 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质 设R R1 R2均为从X到Y的模糊关系 相等 R1 R2 R1 x y R2 x y 包含 R1 R2 R1 x y R2 x y 并 R1 R2的隶属函数为 R1 R2 x y R1 x y R2 x y 交 R1 R2的隶属函数为 R1 R2 x y R1 x y R2 x y 余 Rc的隶属函数为Rc x y 1 R x y R1 R2 x y 表示 x y 对模糊关系 R1或者R2 的相关程度 R1 R2 x y 表示 x y 对模糊关系 R1且R2 的相关程度 Rc x y 表示 x y 对模糊关系 非R 的相关程度 模糊关系的矩阵表示 对于有限论域X x1 x2 xm 和Y y1 y2 yn 则X到Y模糊关系R可用m n阶模糊矩阵表示 即R rij m n 其中rij R xi yj 0 1 表示 xi yj 关于模糊关系R的相关程度 模糊关系的合成 设R1是X到Y的关系 R2是Y到Z的关系 则R1与R2的合成R1 R2是X到Z上的一个关系 R1 R2 x z R1 x y R2 y z y Y 当论域为有限时 模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成 设X x1 x2 xm Y y1 y2 ys Z z1 z2 zn 且X到Y的模糊关系R1 aik m s Y到Z的模糊关系R2 bkj s n 则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成 R1 R2 cij m n 其中cij aik bkj 1 k s 1 4模糊等价关系与经典等价关系 模糊等价关系 若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系 且满足 1 自反性 R x x 1 2 对称性 R x y R y x 3 传递性 R2 R 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系 I R rii 1 RT R rij rji R2 R 模糊相似关系 若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系 且满足 1 自反性 R x x 1 2 对称性 R x y R y x 则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系 当论域X x1 x2 xn 为有限时 X上的一个模糊相似关系R就是模糊相似矩阵 即R满足 1 自反性 I R rii 1 2 对称性 RT R rij rji 模糊等价关系与经典等价关系的联系 第二部分模糊数学的基本应用 2 1模糊聚类分析基础2 2模糊模式识别基础2 3模糊综合评判基础2 4模糊线性规划 y 2 1模糊聚类分析 数据标准化 设论域X x1 x2 xn 为被分类对象 每个对象又由m个指标表示其形状 xi xi1 xi2 xim i 1 2 n于是 得到原始数据矩阵为 平移 标准差变换 其中 平移 极差变换 模糊相似矩阵建立方法 相似系数法 夹角余弦法 相似系数法 相关系数法 其中 距离法 海明距离 欧氏距离 具体的聚类过程 在模糊聚类分析中 对于各个不同的 0 1 可得到不同的分类 从而形成一种动态聚类图 这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的 1 已知类别DNA序列的模糊分类 提取已知类别的20个DNA序列的A T C G的百分含量构成如下矩阵 X xij 20 4 其中xi1 xi2 xi3 xi4分别表示第个DNA系列中的A T C G的百分含量 采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵 然后用传递闭包法进行聚类 动态聚类图如下 2 确定最佳分类 将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳 A1 1 2 3 5 6 7 89 10 A2 4 17 A3 11 12 13 14 15 16 18 19 20 建立标准模型库 A1 A2 A3 3 未知DNA序列的模糊识别采用格贴近度公式 0 A B A B 1 A B 2 将隶属于A1的DNA序列归为A类 隶属于A3的DNA序列归为B类 隶属于A2的DNA序列归为非A B类 2 2模糊模型识别 模型识别 已知某类事物的若干标准模型 现有这类事物中的一个具体对象 问把它归到哪一模型 这就是模型识别 模糊模型识别 所谓模糊模型识别 是指在模型识别中 模型是模糊的 也就是说 标准模型库中提供的模型是模糊的 模糊模型识别的类型 1 具体元素对模糊模型的识别问题 给定了标准模型库A1 A2 Am 问对象x属于上述模型库的哪一类 2 模糊元素对模糊模型的识别问题 给定了标准模型库A1 A2 Am中的哪一类 问对象x属于上述模型库的哪一类 其中对象X本身就是模糊的 最大隶属原则 最大隶属原则 设论域X x1 x2 xn 上有m个模糊子集A1 A2 Am 即m个模型 构成了一个标准模型库 若对任一x0 X 有k 1 2 m 使得Ak x0 A1 x0 A2 x0 Am x0 则认为x0相对隶属于Ak 最大隶属原则 设论域X上有一个标准模型A 待识别的对象有n个 x1 x2 xn X 如果有某个xk满足A xk A x1 A x2 A xn 则应优先录取xk 例细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别 而几何图形常常化为若干个三角图形 故设论域为三角形全体 即X A B C A B C 180 A B C 标准模型库 E 正三角形 R 直角三角形 I 等腰三角形 I R 等腰直角三角形 T 任意三角形 某人在实验中观察到一染色体的几何形状 测得其三个内角分别为94 50 36 即待识别对象为x0 94 50 36 问x0应隶属于哪一种三角形 先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数 直角三角形的隶属函数R A B C 应满足条件 1 当A 90时 R A B C 1 2 当A 180时 R A B C 0 3 0 R A B C 1 因此 不妨定义R A B C 1 A 90 90 则R x0 0 955 或者 其中p A 90 则R x0 0 54 正三角形的隶属函数E A B C 应满足 1 当A B C 60时 E A B C 1 2 当A 180 B C 0时 E A B C 0 3 0 E A B C 1 因此 不妨定义E A B C 1 A C 180 则E x0 0 677 或者 其中p A C 则E x0 0 02 等腰三角形的隶属函数I A B C 应满足 1 当A B或者B C时 I A B C 1 2 当A 180 B 60 C 0时 I A B C 0 3 0 I A B C 1 因此 不妨定义I A B C 1 A B B C 60 则I x0 0 766 或者 p A B B C 则I x0 0 10 等腰直角三角形的隶属函数 I R A B C I A B C R A B C I R x0 0 766 0 955 0 766 任意三角形的隶属函数T A B C Ic Rc Ec I R E c T x0 0 766 0 955 0 677 c 0 955 c 0 045 通过以上计算 R x0 0 955最大 所以x0应隶属于直角三角形 或者 I R x0 0 10 T x0 0 54 c 0 46 仍然是R x0 0 54最大 所以x0应隶属于直角三角形 第二类模糊模式识别 设在论域X x1 x2 xn 上有m个模糊子集A1 A2 Am 即m个模型 构成了一个标准模型库 被识别的对象B也是X上一个模糊集 它与标准模型库中那一个模型最贴近 这是第二类模糊识别问题 先将模糊向量的内积与外积的概念扩充 设A x B x 是论域X上两个模糊子集的隶属函数 定义内积 A B A x B x x X 外积 A B A x B x x X 择近原则设在论域X x1 x2 xn 上有m个模糊子集A1 A2 Am构成了一个标准模型库 B是待识别的模型 若有k 1 2 m 使得 Ak B Ai B 1 i m 则称B与Ak最贴近 或者说把B归于Ak类 这就是择近原则 蠓的分类 左图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据 其中 表示Apf 表示Af 根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的 给定一只Af族或Apf族的蠓 如何正确地区分它属于哪一族 将你的方法用于触角长和翼长分别为 1 24 1 80 1 28 1 84 1 40 2 04 三个标本 模糊判别方法先将已知蠓重新进行分类 当 0 919时 分为3类 1 2 3 6 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三类的中心向量分别为 1 395 1 770 1 560 2 080 1 227 1 927 A1 0 200 0 637 Af蠓 A2 0 390 1 000 Af蠓 A3 0 000 0 821 Apf蠓 再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为 B1 0 015 0 672 B2 0 062 0 719 B3 0 203 0 953 采用贴近度 3 A B 计算得 3 A1 B1 0 89 3 A2 B1 0 65 3 A3 B1 0 92 3 A1 B2 0 89 3 A2 B2 0 69 3 A3 B2 0 92 3 A1 B3 0 84 3 A2 B3 0 88 3 A3 B3 0 83 根据择近原则及上述计算结果 第一只待识别的蠓 1 24 1 80 属于第三类 即Apf蠓 第二只待识别的蠓 1 28 1 84 属于第三类 即Apf蠓 第三只待识别的蠓 1 40 2 04 属于第二类 即Af蠓 DNA序列分类与模糊识别 2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题 生物学家发现DNA序列是由四种碱基A T C G按一定顺序排列而成 其中既没有 断句 也没有标点符号 同时也发现DNA序列的某些片段具有一定的规律性和结构 由此人工制造两类序列 A类编号为1 10 B类编号为11 20 网址 现在的问题是如何找出比较满意的方法来识别未知的序列 编号为21 40 并判断它们那些属于A类 那些属于B类 那些既不属于A类又不属于B类 1 已知类别DNA序列的模糊分类 提取已知类别的20个DNA序列的A T C G的百分含量构成如下矩阵 X xij 20 4 其中xi1 xi2 xi3 xi4分别表示第个DNA系列中的A T C G的百分含量 采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵 然后用传递闭包法进行聚类 动态聚类图如下 2 确定最佳分类 将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳 A1 1 2 3 5 6 7 89 10 A2 4 17 A3 11 12 13 14 15 16 18 19 20 建立标准模型库 A1 A2 A3 3 未知DNA序列的模糊识别采用格贴近度公式 0 A B A B 1 A B 2 将隶属于A1的DNA序列归为A类 隶属于A3的DNA序列归为B类 隶属于A2的DNA序列归为非A B类 经典的综合评判决策 在实际的工作中 对一个事物的评价 常常涉及多个因素或多个指标 这时就要求根据多个因素对事物做出综合评价 而不能只从某一因素的情况去评价事物 这就是综合评价 经典综合评判方法 1 评总分法 2 加权评分法 2 3模糊综合评判模型