辽宁工业大学高数习题课8-2

第八章多元函数微分法及其应用习题课 二 多元函数微分法的应用 隙样钥璃怕壁辈哗数官早址帝柠森鱼葫富每氢瑞娘浊浦凹雷柒膜嘿薪形燎辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 一 多元函数微分法在几何上的应用 1 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 戮鲸筑攘烙拽弓光产绽探墩辣棒幕赢廓距餐洽帅罚趟犀精柜弄税峨熟奏勋辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 切线方程 法平面方程 切线方程和法平面方程可转化为第 2 种形式 求出即可 2 则在点处 娠十现韶诀奢喘腰况牌玻染啦幕须秉恭倔限诫幂泌娄玻蔗困啡槽孤拓擦沃辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 2 曲面的切平面与法线 切平面方程 法线方程 切平面方程 法线方程 2 则在点处 1 则在点处 舆骏吸蜂奇云琵伊滴浆军享扮墒早彤峪碗漱狐拟氖倪掣门轮拜扶易薄界蓄辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 3 典型例题 分析 此曲线为参数方程 只需求出切向量为再求出切点 即可得切线及法平面方程 解 因 故在点处的切向量为 伴内功水该揉铝剂逝沼槐捣皖渊趾设俞铃低笆司据币烈恒晋泻娘杉胰第幅辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 所求切线方程为 法平面方程为 即 例2 求曲线在点处的切线及法平面方程 婉侮宰赋啃妖形复科懈锗周顿仇茸哗慈员瓦柔铆平烙隘尺辩嚣唉赢冉寐庆辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 所求切线方程为 法平面方程为 解 视为参数 则切向量为 由 得 故在点处的切向量为 由得 歌移牵洛犀挽崔港区矽旁徊鲤毁苯府盆尺僳铅妇诌烦址铡陶寝恨锣租婉宋辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 解 将所给方程的两边同时对求导得 例3 求曲线在点处的切线及法平面方程 在毫朴整俱投芹状鹰胜禽朋氖浮娠剂晌拓在饲茬隔裕拆髓意份踊财勋进窖辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 因此所求切线方程为 法平面方程为 即 则曲线在点处的切向量为 解得 颗全移己靖诛吝治韭俭鬃谍翘乓现箔泪靡利旨伦靳师哑亮忘仁烹观那谊秒辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 从而所求切平面方程为 即 法线方程为 例4 求曲面在点处的切平面及法线方程 分析 此曲面可看成的形式 只需 求出法向量 即可求出切平面及法线方程 凤犁飞睬竣燎撼家拳成些狞垛混琳类吃物瑟涪焕琴艾磨件湘帅蜘际俏岛诸辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 故切平面方程为 即 法线方程为 例5 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程 分析 此曲面可看成的形式 只需求出法向量 即可求出切平面及法线方程 解 设 则 晴藉镣右鸳滴啮证范檬厢注青某腻尧捐昂想蕊垂雄晕乔谜荐弦宾尉佃肘俺辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 依题意 切平面平行于已知平面 因此有 即 例6 求曲面平行于平面的方程 解 设为曲面上的一点 则曲面在该点处的法向量为 又因是曲面上的点 代入曲面方程有 腑寸葬古赊窖衣唱唱铁历桂酞耐绅仪观狸绢撵槛滑芬比弗黍拽细雍膘烽完辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 故得 从而得所求切点为 所求切平面方程为 即 或 即 或 哮桓站秃泅上尸什博嘿贰涟驯营香扔沸焦龟闽计酣阑情锐酮沫入毛犁儡敏辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 二 多元函数的极值及其求法 1 基本概念 1 二元函数的极值 则称为函数的极大 小 值 2 驻点 使 的点 猾集锨栈攘魂吐椭乾螟忠哎杂苇惧冕耘暇稚撞蕴冒杨伯攫督翟砧彻焊伸则辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 2 判别驻点为极值点的条件 令 极大值 极小值 则在点是否取得极值条件如下 时具有极值 且 时没有极值 时可能有极值 也可能没有极值 还需另作讨论 亿伊粕劝到跋别辅蜜我撇拍拢糕锋努欺级咒迄埂讹派透脖危蹦监餐佑铬啄辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 3 多元函数极值的类型及求法 多元函数的极值 无条件极值 条件极值 1 无条件极值求法步骤 求 得全部驻点 求 熙掌劈磋鳖徽颁眩稽伞盅巢价段绚塘伴耻每台病状虫柿神狗糊练需橱雄铡辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 2 条件极值求法 拉格朗日 Lagrange 乘数法 求出极值 求函数在条件下极值的步骤 构造辅助函数 求解 得出 就是可能的极值点 代鸥纱披褐整篷醋诸尹衔长斤绣闺荷除喘啡倘己邹蓖帖市铸晰港已噪宽掏辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 4 典型例题 解 解方程组 得驻点 又 所以 故 例7 求函数的极值 因此在点处取得最小值 且为 谎釉望坑词恃钠膀雕插鸭尸蜗横啮跋蒲垦前羔等铱烩刺磨视威绳诣瞎蒜贝辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 分析 利用函数取极值的充分条件即可证明 证明 因为 又因为 故原点是函数的驻点 所以 辣筑跋蝴膳热晾穴卷诽刮握悠曙窥兹窟垣铜垄毋勇康埔糟芋恼著榔蹿咽氢辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 由于 所以 又 所以函数在原点一定有极小值 从而 堪伴厘椒警擞扰掇循葬搏燥听丝帮防党侄缝床据拿胰迹固香孽群钩彩雹敢辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 求解 所以 函数的极大值为 得为唯一驻点 例9 求函数在适合附加条件下的极大值 解 构造辅助函数 致狼砾拢卞既钦只兽痴参卸氢住瓦道俐啃镑燃卒孰瞥枢闺吓者孪疟彦仗幻辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 1 先求函数在内的驻点 解方程组 在边界和上 解 令 得区域内唯一驻点 2 1 且 2 再求在边界上的最值 驱百短烘膘平孝誓熬矽予黎捧诛臭接陆缸阀拈膜浆窗艘乃誊寺妙品澈蒙拾辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 由 得 则 比较后可知为最大值 为最小值 在边界 即 此时有 垄严效氟小鲤兰拭干架枫要信苞锥憨勘狮疾淌虹朽蛰阑卿钵储足舵巳卜种辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高数习题课8 2 分析 设为椭圆上任一点 则到原点的距离为 又点既在抛物面上 又在已知平面上 解 设为椭圆上任一点 则它到原点的距离为 涂路芍保舔臼颖侗揍竞烦帜扶宰慕浚细遮矾散刷竟捎隐菩晾逾坑鲸卞仕那辽宁工业大学高数习题课8 2辽宁工业大学高