【高考前三个月复习数学理科 概率与统计】第40练

专题8概率与统计 第40练归纳推理与类比推理 题型分析 高考展望 归纳推理与类比推理是新增内容 在高考中 常以选择题 填空题的形式考查 题目难度不大 只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决 常考题型精析 高考题型精练 题型一利用归纳推理求解相关问题 题型二利用类比推理求解相关问题 常考题型精析 题型一利用归纳推理求解相关问题 例1 1 2015 陕西 观察下列等式 据此规律 第n个等式可为 解析等式左边的特征 第1个等式有2项 第2个有4项 第3个有6项 且正负交错 故第n个等式左边有2n项且正负交错 等式右边的特征 第1个有1项 第2个有2项 第3个有3项 2 如图所示 是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形 其中第1个图形用了3根火柴 第2个图形用了9根火柴 第3个图形用了18根火柴 则第2014个图形用的火柴根数为 A 2012 2015B 2013 2014C 2013 2015D 3021 2015 解析由题意 第1个图形需要火柴的根数为3 1 第2个图形需要火柴的根数为3 1 2 第3个图形需要火柴的根数为3 1 2 3 由此 可以推出 第n个图形需要火柴的根数为3 1 2 3 n 所以第2014个图形所需火柴的根数为3 1 2 3 2014 答案D 点评归纳推理的三个特点 1 归纳推理的前提是几个已知的特殊对象 归纳所得到的结论是未知的一般现象 该结论超越了前提所包含的范围 2 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质 结论是否准确 还需要经过逻辑推理和实践检验 因此归纳推理不能作为数学证明的工具 3 归纳推理是一种具有创造性的推理 通过归纳推理得到的猜想 可以作为进一步研究的起点 帮助发现问题和提出问题 变式训练1 2014 陕西 观察分析下表中的数据 猜想一般凸多面体中F V E所满足的等式是 解析观察F V E的变化得F V E 2 F V E 2 题型二利用类比推理求解相关问题 例2如图所示 在平面上 用一条直线截正方形的一个角 截下的是一个直角三角形 有勾股定理c2 a2 b2 空间中的正方体 用一平面去截正方体的一角 截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥 若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1 S2 S3 截面面积为S 类比平面中的结论有 解析建立从平面图形到空间图形的类比 在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时 注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质 平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质 平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质 所以三角形类比空间中的三棱锥 线段的长度类比图形的面积 于是作出猜想 点评类比推理的一般步骤 1 定类 即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 2 推测 即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 3 检验 即检验猜想的正确性 要将类比推理运用于简单推理之中 在不断的推理中提高自己的观察 归纳 类比能力 变式训练2已知正三角形内切圆的半径是其高的13 把这个结论推广到空间正四面体 类似的结论是 A 正四面体的内切球的半径是其高的12B 正四面体的内切球的半径是其高的13C 正四面体的内切球的半径是其高的14D 正四面体的内切球的半径是其高的15 解析设正四面体的每个面的面积是S 高是h 内切球半径为R 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 我们知道 在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a 类比上述结论 边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥 它们的体积之和为正四面体的体积 设点到四个面的距离分别为h1 h2 h3 h4 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A nnB n2C 3nD 2n 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析根据已知 续写一个不等式 由此可得a nn 故选A 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10等于 A 28B 76C 123D 199解析观察可得各式的值构成数列1 3 4 7 11 其规律为从第三项起 每项等于其前相邻两项的和 所求值为数列中的第十项 继续写出此数列为1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 第十项为123 即a10 b10 123 C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2014 北京 学生的语文 数学成绩均被评定为三个等级 依次为 优秀 合格 不合格 若学生甲的语文 数学成绩都不低于学生乙 且其中至少有一门成绩高于乙 则称 学生甲比学生乙成绩好 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好 并且不存在语文成绩相同 数学成绩也相同的两位学生 那么这组学生最多有 A 2人B 3人C 4人D 5人 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析假设满足条件的学生有4位及4位以上 设其中4位同学分别为甲 乙 丙 丁 则4位同学中必有两个人语文成绩一样 且这两个人数学成绩不一样 或4位同学中必有两个数学成绩一样 且这两个人语文成绩不一样 那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好 故满足条件的学生不能超过3人 当有3位学生时 用A B C表示 优秀 合格 不合格 则满足题意的有AC CA BB 所以最多有3人 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析从平面图形类比空间图形 从二维类比三维 如图 设正四面体的棱长为a E为等边三角形ABC的中心 O为内切球与外接球球心 设OA R OE r 则OA2 AE2 OE2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 正四面体的外接球和内切球的半径之比为3 1 故正四面体P ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于127 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析若 an 是等差数列 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 仔细观察下面 和 的排列规律 若依此规律继续下去 得到一系列的 和 那么在前120个 和 中 的个数是 解析进行分组 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易知f 14 119 f 15 135 故n 14 答案14 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 如三角形数1 3 6 10 第n个三角形数为 记第n个k边形数为N n k k 3 以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式 正方形数N n 4 n2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 六边形数N n 6 2n2 n 可以推测N n k 的表达式 由此计算N 10 24 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推测 1100 100 1000 答案1000 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 两点等分单位圆时 有相应正确关系为sin sin 0 三点等分单位圆时 有相应正确关系为sin sin 2 3 sin 4 3 0 由此可以推知 四点等分单位圆时的相应正确关系为 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由类比推理可知 四点等分单位圆时 与 的终边互为反向延长线 2与 3 2的终边互为反向延长线 如图 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 观察下列等式12 112 22 312 22 32 612 22 32 42 10 照此规律 第n个等式可为 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析观察等式左边的式子 每次增加一项 故第n个等式左边有n项 指数都是2 且正 负相间 所以等式左边的通项为 1 n 1n2 等式右边的值的符号也是正 负相间 其绝对值分别为1 3 6 10 15 21 设此数列为 an 则a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 a5 a4 5 an an 1 n 各式相加得an a1 2 3 4 n 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 照此规律 第五个不等式为 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9