1.4角平分线的性质 (2)

1 4角平分线的性质 一 1 角平分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 知识回顾 如图 AB AD BC DC 沿着AC画一条射线AE AE就是 BAC的角平分线 你知道为什么吗 不利用工具 请你将一张用纸片做的角分成两全个相等的角 你有什么办法 再打开纸片 看看折痕与这个角有何关系 对折 自主预习 分别以 为圆心 大于 的长为半径作弧 两弧在 AOB的内部交于 A 作法 以 为圆心 适当长为半径作弧 交 于 交 于 画射线OC 射线 即为所求 A 为什么OC是角平分线呢 想一想 已知 OM ON MC NC 求证 OC平分 AOB 证明 在 OMC和 ONC中 OM ON MC NC OC OC OMC ONC SSS MOC NOC即 OC平分 AOB 1 实验 将 AOB对折 再折出一个直角三角形 使第一条折痕为斜边 然后展开 观察两次折叠形成的三条折痕 你能得出什么结论 2 猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 新知探究 证明 OC平分 AOB 已知 1 2 角平分线的定义 PD OA PE OB 已知 PDO PEO 垂直的定义 在 PDO和 PEO中 PDO PEO 已证 1 2 已证 OP OP 公共边 PDO PEO AAS PD PE 全等三角形的对应边相等 已知 如图 OC平分 AOB 点P在OC上 PD OA于点D PE OB于点E求证 PD PE 3 验证猜想 角平分线的性质 定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为 A O B P 1 2 1 2PD OA PE OB PD PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 推理的理由有三个 必须写完全 不能少了任何一个 反过来 到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢 已知 如图 QD OA QE OB 点D E为垂足 QD QE 求证 点Q在 AOB的平分线上 证明 QD OA QE OB 已知 QDO QEO 90 垂直的定义 在Rt QDO和Rt QEO中QO QO 公共边 QD QE Rt QDO Rt QEO HL QOD QOE 点Q在 AOB的平分线上 已知 如图 QD OA QE OB 点D E为垂足 QD QE 求证 点Q在 AOB的平分线上 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 QD OA QE OB QD QE 点Q在 AOB的平分线上 用数学语言表示为 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 QD OA QE OB 点Q在 AOB的平分线上 QD QE 例1如图 BAD BCD 90 1 2 1 求证 点B在 ABC的平分线上 2 求证 BD是 ABC的角平分线 证明 1 在 ABC中 1 2 BA BC又BA AD BC CD 点B在 ABC的平分线上 2 在Rt BAD和Rt BCD中 BA BC BD BD Rt BAD Rt BCD ABD CBD BD是 ABC的平分线 角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 知识梳理 随堂练习 3 要在 区建一个集贸市场 使它到公路 铁路距离相等且离公路 铁路的交叉处 米 应建在何处 比例尺1 20000