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5 3拉普拉斯逆变换 对于单边拉普拉斯变换 象函数的拉普拉斯逆变换为 利用复变函数理论中的留数定理来求 逆变换的求法 部分分式展开法 若是s的有理分式 可写为 式中 各系数均为实数 为简单设 若 可用多项式除法将象函数分解为有理多项式和有理真分式之和 式中的幂次小于的幂次 二 部分分式展开法 例如 下面主要讨论有理真分式的情形 如果是的实系数有理真分式 式中 为了将展开为部分分式 要先求出n个特征根称为的极点 式中分母多项式称为的特征多项式 方程称为特征方程 它的根称为特征根也称为的固有频率或 自然频率 特征根可能是实根 含零根 或复根 含虚根 可能是单根 也可是重根 下面分两种情况来讨论 1 有单极点 特征根为单根 如果方程的根都是单根 其n个根都互不相等 那么根据代数理论 可展开为如下的部分分式 例5 3 3求的原函数 解 例5 3 4求的原函数 解 可以证明 下面导出有共轭单极点时 简便实用的关系式 设有一对共轭单根 可以证明 取逆变换 得 若 例5 3 5求的原函数 2 有重极点 特征根为重根 如果在处有重根 即 而其余个根都不等于 那么可展开为如下的部分分式 其系数求法 据此可求出相应的 常用 例5 3 6求的原函数 常用 如果有复重根 例如 有二重复根 则可展开为 可以证明 系数的求法同上 自学 例5 3 7求的原函数 另外 在求逆变换时 应注意利用拉普拉斯变换的各种性质和常用变换对 例5 3 8求的原函数 解 例5 3 9求的原函数 解 例5 3 10求的原函数 解 先求的原函数 其波形如图 补充例题 求的原函数 补充例题 求的原函数 作业 5 1 2 6 5 2 a 5 3 2 5 13 5 7 d 5 8
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