113导数的几何意义（共63张）

1 1 3导数的几何意义 一 导数的几何意义1 切线的概念 如图 对于割线PPn 当点Pn趋近于点P时 割线PPn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线PT称为点P处的 切线 2 导数的几何意义 函数y f x 在x x0处的导数就是切线PT的斜率k 即k 思考 割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系 提示 割线PPn的斜率是当点Pn沿着曲线无限趋近于点P时 kn无限趋近于切线PT的斜率k 二 导函数的概念1 定义 当x变化时 便是x的一个函数 我们称它为f x 的导函数 简称 2 记法 f x 或y 即f x y f x 导数 判断 正确的打 错误的打 1 导函数f x 的定义域与函数f x 的定义域相同 2 函数f x x2的导数是f x 2x 3 函数f x 0没有导函数 提示 1 正确 导函数f x 与原来的函数f x 有相同的定义域 2 正确 可利用导数定义求f x x2在x x0处的导数 再把x0换成x即可 3 错误 函数f x 0上每一点的导数都是0 函数f x 0的导函数是f x 0 答案 1 2 3 知识点拨 1 对切线的三点说明 1 曲线上一点是否有切线 要根据割线是否有无限趋近的位置来判断 若有 则在此点有切线 且切线是唯一的 若没有 则在此点处无切线 2 曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点 可以有多个公共点 3 若函数f x 在点x0处有导数 则在该点处函数f x 的曲线必有切线 且导数值是该切线的斜率 若函数f x 在x0处导数不存在 则在该点处的切线斜率不存在 但切线存在 切线的倾斜角为直角 2 函数f x 在点x0处的导数f x0 导函数f x 之间的区别与联系 1 函数在一点处的导数f x0 就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限值 它是一个常数 不是变数 2 导函数是指函数在某一区间内任一点x的导数构成的函数 3 函数f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在x x0处的函数值 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 类型一求曲线上在一点处切线的方程 典型例题 1 2013 宿州高二检测 曲线在点处的切线方程为 2 如图 已知曲线上一点求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 解题探究 1 求曲线上一点的切线方程的关键是什么 2 1 曲线在x 2处的导数的意义是什么 2 过点P x0 y0 斜率为k的直线方程是什么 探究提示 1 关键是求曲线上切点处切线的斜率 即求该点的导数 2 1 曲线在x 2处的导数就是该点切线的斜率 2 y y0 k x x0 解析 1 因为 所以切线的斜率k 1 所以所求的切线方程为答案 2 1 因为所以当x0 2时 y 所以f 2 4 即点P处的切线的斜率为4 2 在点P处的切线方程是即12x 3y 16 0 拓展提升 1 求函数y f x 的导数的三个步骤 1 y f x x f x 2 3 2 求曲线上某点处的切线方程的基本步骤 1 求出该点的坐标 2 求出函数在该点处的导数 即曲线在该点处的切线的斜率 3 利用点斜式写出切线方程 变式训练 求曲线在点处的切线的斜率 并写出切线方程 解析 因为 所以切线的斜率所以切线方程为y 2 4 x 即4x y 4 0 过一点求曲线的切线方程 典型例题 1 过点 2 0 且与曲线相切的直线方程为 2 已知曲线和点A 1 0 求过点A的切线方程 解析 1 可以验证点 2 0 不在曲线上 设切点为P x0 y0 其中由 所以 切线方程为又点 2 0 在切线上 所以解得x0 2 所以因此切线方程为 x 8y 2 0 答案 x 8y 2 0 2 设切点为P x0 x03 则切线的斜率为k f x0 所以切线方程为又因为切线过点A 1 0 所以化简得解得x0 0或 当x0 0时 所求的切线方程为 y 0 当时 所求的切线方程为 即9x 4y 9 0 即过点A的曲线的切线方程为y 0或9x 4y 9 0 拓展提升 求过曲线y f x 外点P x1 y1 的切线的方程的步骤 1 设切点 x0 f x0 2 利用所设切点求斜率 3 用 x0 f x0 P x1 y1 表示斜率 4 根据斜率相等求得x0 然后求得斜率k 5 根据点斜式写出切线方程 类型二求切点的坐标 典型例题 1 曲线y x3在点P处的切线斜率为3 则点P的坐标为 2 直线l y x a a 0 和曲线C y x3 x2 1相切 1 求a的值 2 求切点的坐标 解题探究 1 曲线上一点切线的斜率与该点的导数有什么关系 2 切点的坐标满足切线方程吗 是否也满足曲线的方程 探究提示 1 曲线上一点切线的斜率就是该点的导数 2 切点的坐标既满足切线方程 同时也满足曲线的方程 解析 1 因为y x3 所以 令3x2 3 得x 1 所以点P的坐标为 1 1 或 1 1 答案 1 1 或 1 1 2 1 设直线l与曲线C的切点为 x0 y0 因为则解得x0 1或x0 当x0 1时 y0 x03 x02 1 1 又 x0 y0 在直线y x a上 将x0 1 y0 1代入得a 0 与已知条件矛盾 舍去 当x0 时 则切点坐标为将切点坐标代入直线y x a 得故 2 由 1 知切点坐标是 互动探究 若把题1中的 点P处的切线斜率为3 变为 点P处的切线与直线x y 0垂直 结果如何 解析 因为y x3 所以 因为所求切线与直线x y 0垂直 所以切线的斜率为1 所以3x2 1 得所以点P的坐标为 拓展提升 1 求切点坐标的一般思路 1 先设切点坐标 x0 y0 2 求导函数f x 3 求切线的斜率f x0 4 由斜率间的关系列出关于x0的方程 解方程求x0 5 由于点 x0 y0 在曲线y f x 上 将x0代入求y0 得切点坐标 2 切点问题的处理方法 1 由条件得到直线的倾斜角或斜率 由这些信息得知函数在某点的导数 进而求出点的横坐标 2 解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来 如直线的倾斜角和斜率的关系 两直线平行或垂直与斜率的关系等 类型三导数几何意义的综合应用 典型例题 1 曲线和y x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 2 已知f x x2 g x x3 1 求f x g x 并判断f x 和g x 的奇偶性 2 若对于所有的实数x f x 2 ag x 恒成立 试求实数a的取值范围 解题探究 1 已知曲线方程 如何求两条曲线的交点的坐标 2 奇函数 偶函数的判断方法是什么 不等式ax2 bx c 0恒成立的充要条件是什么 探究提示 1 把两条曲线的方程联立 方程组的解就是交点的坐标 2 1 函数奇偶性的判断方法 对于函数y f x 定义域内的任意x 若f x f x 则y f x 为偶函数 若f x f x 则y f x 为奇函数 2 不等式ax2 bx c 0恒成立的充要条件是或 解析 1 由得所以曲线和y x2的交点坐标是 1 1 的导数为 所以y x 1 1 切线的方程是y x 2 y x2的导数为切线方程为y 2x 1 两条切线与x轴的交点坐标分别为 2 0 和故它们与x轴所围成的三角形的面积答案 2 1 由导数的定义知 f x 和g x 的定义域均为R 故定义域关于原点对称 因为f x 2x f x 所以f x 为奇函数 因为g x 3 x 2 3x2 g x 所以g x 为偶函数 2 由f x 20对任意实数x恒成立 当a 0时 转化为 2x 2 0恒成立 即x0对所有实数x都成立得 解得综上 为所求 拓展提升 导数几何意义应用问题的解题策略 1 导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识 如直线斜率与方程以及直线间的位置关系等 因此要综合应用所学知识解题 2 解题的关键是函数在某点处的导数 已知切点可以求斜率 已知斜率也可以求切点 切点的坐标是常设的未知量 3 一定要区分曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线与过点P x0 f x0 的切线的不同 前者P为切点 后者P不一定为切点 变式训练 求证 函数图象上各点处的切线斜率都小于1 解题指南 利用导数的定义求函数的导数 曲线上每一点的导数就是曲线上各点处切线的斜率 再证明斜率小于1即可 证明 y 因为对于定义域内的任意x 都有所以图象上各点处的切线斜率都小于1 规范解答 用导数的定义求切线的方程 典例 条件分析 规范解答 y 3x2 3 2分设切点坐标为 x0 x03 3x0 则直线l的斜率k f x0 3x02 3 所以直线l的方程为y x03 3x0 3x02 3 x x0 4分又直线l过点P 1 2 所以 2 x03 3x0 3x02 3 1 x0 所以2x03 3x02 1 x0 1 2 2x0 1 0 解得x0 1或x0 6分故所求直线斜率为k 3x02 3 0或k 3x02 3 于是y 2 0 x 1 或y 2 x 1 即y 2或 10分故过点P 1 2 的切线方程为y 2或 12分 失分警示 防范措施 1 记清常用的公式利用导数的定义求曲线上某一点的导数 要记清导数的表达式 化简后求极限时的式子要有意义 如本例中求得y 3x2 3 2 理清切点的实质在求切线方程的过程中 关键是寻找两个条件 一是切点 二是切线的斜率 其中切点又是关键 需要找清切点 如本例中点P 1 2 不一定是切点 做题时要高度关注 类题试解 求抛物线y x2过点的切线方程 解析 由于点不在抛物线上 可设切点为 x0 x02 f x0 所以切线的斜率为2x0 又因为此切线过点和点 x0 x02 所以即x02 5x0 6 0 解得x0 6或x0 1 因此过点 6 36 1 1 的切线方程分别为y 36 12 x 6 和y 1 2 x 1 即12x y 36 0和2x y 1 0 1 设f x0 0 则曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线 A 不存在B 与x轴平行或重合C 与x轴垂直D 与x轴斜交 解析 选B 由导数的几何意义知B正确 2 如果曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为x 2y 3 0 那么 A f x0 0B f x0 0C f x0 0D f x0 不存在 解析 选B 由于曲线上点 x0 f x0 处的导数等于以这一点为切点的切线的斜率 所以f x0 0 3 若曲线y f x 在x0处的切线的斜率为k 则 解析 由导数的几何意义知 曲线y f x 在x0处的切线的斜率即为函数y f x 在x x0处的导数 答案 k 4 曲线y x2在点P 1 1 处的切线的方程为 解析 y f 1 x f 1 1 x 2 1 2 x x 2 因此 切线方程为y 1 2 x 1 即 y 2x 1 答案 y