第2章-电磁场基本规律.ppt

本章主要讨论电动力学的实验和理论基础 确立静止和稳定情况的分布电荷与分布电流的概念 在电荷守恒的前提下 确立电流连续性方程 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强度和磁感应强度的概念 在电荷分布和电流分布已知的条件下 提出计算电场与磁场的矢量积分公式 在电磁感应定理的基础上引入位移电流的概念 引言 2 1电磁场的源变量 1 电荷及电荷密度 体电荷密度 VolumeChargeDensity 体电荷 电荷分布于三唯空间 本教程约定 场源 源点 的分布空间一律用带撇的坐标表示 场 场点 的分布空间用不带撇的坐标表示 体电荷密度 3维 面电荷密度 SurfaceChargeDensity 面电荷 电荷分布在某一薄层 曲面 上 面电荷密度 线电荷密度 LineChargeDensity 线电荷 电荷分布在某一曲线上 线电荷密度 2维 1维 点电荷 PointCharge 且 而 0维 2 电流及电流密度 体电流密度 VolumeCurrentDensity 为电流密度的方向 也是面元 S的法向单位矢量 面电流密度 SurfaceCurrentDensity 面电流 电流分布在某一薄层 曲面 上 面电流密度矢量JS 其方向规定为电流的流向 其大小定义为在垂直于电流方向上单位长度的电流 即 是面电流方向的单位矢量 通过薄层上任意有向曲线l的电流 证明 在有向曲线上任取一线元矢量 如图 流过线元的电流 是与的夹角 令 且 和构成右手螺旋关系 利用 代入上式 线电流 LineCurrent 线电流 电流沿某一细线 导线 流动 电流元矢量 其方向规定为电流的方向 是导线上的任意线元矢量 2 2电流连续性方程 考虑任意闭合曲面S 由于电荷守恒 单位时间内从S内流出的电荷量 i e 流过S的电流 应该等于闭曲面S所包围的体积V内的电荷减少量 即 电流连续性方程之积分形式 改写成 则有 由于S任意 故体积V也任意 则 电流连续性方程之微分形式 讨论 对于恒定电流 有 故恒定电流的电流连续性方程为 或 说明恒定电流场J是无散场 无散度源 通量源 由于 故令 A是某个矢量场 则流过任意曲面S的电流 最后一步使用了Stockes定理 对比恒定磁场B的环路定理 不难发现 所以有 可见 恒定磁场H的旋度等于磁场的漩涡源密度 即电流密度 2 3真空中静电场的基本规律 静电场的基本实验定律是库仑定律 由库仑定律可以导出电场强度的表达式 在此基础上结合矢量分析 可进一步导出静电场其他的基本规律 Gauss定理和环路定理 1 库仑定律 Koulomb sLaw 真空中两个点电荷q1 q2之间的静电力 表示q1对q2的作用力 表示q2对q1的作用力 2 电场强度 ElectricField 根据定义式导出不同电荷分布激发的电场强度 点电荷的电场 点电荷系统的电场 迭加原理 电荷连续分布的带电体的电场 体电荷的场 面电荷的场 线电荷的场 例1 计算电偶极子的电场强度 电偶极子 相距很小距离d的两个等量异号的点电荷 q和 q 组成的系统 解 以两点电荷连线为z轴 连线的中点为原点建立坐标系 如图 由迭加原理 偶极子在任意场点P的场强 分别是 q和 q在场点P的电场强度 而以及 在电磁理论中 通常讨论的是远离偶极子的区域内的场 即有 此时 利用级数展开 代入上式有 类似地 因此 场点P的电场强度近似为 引入电偶极矩矢量则 球坐标中 偶极矩矢量 则 故 2 静电场的散度和旋度 亥姆霍兹定理指出 任一矢量场由它的散度 旋度和边界条件唯一确定 因此要确定静电场 就需要先讨论它的散度和旋度 静电场的散度和Gauss定理 1 两边作体积分 qenc代表V内的电荷总量 左边利用散度定理之后 有 1 式表明静电场是有散场 任意点的散度和该点的电荷密度有关 静电荷是静电场的通量源 电荷密度为正 称发散源 为负则称汇聚源 2 2 式即为Gauss定理得积分形式 1 式为其微分形式 Gauss定理是库仑定律的必然结果 附录 1 式证明 利用 也可以不使用 函数的性质作出证明 此时 上面的积分结果为0 因此只有当时 积分才为不0 此时可提出积分号外 故有 静电场的旋度和环路定理 由电场强度的表达式 取其旋度 利用 将E改写 这里最后一步是由于 算符只对场点坐标 不带撇 作用 表明静电场是无旋的 电场线不构成闭合曲线 非涡漩结构 意义 单位正点电荷沿闭合路径l运动一周 电场做功为0 静电场是保守场 环路定理也是库仑定律的必然结果 真空中静电场的基本方程 这组方程揭示静电场的基本性质 有散 无旋 保守性 或 回顾本节知识结构 2 4真空中恒定磁场的基本规律 恒定磁场的基本实验定律是安培定律 由安培定律可以导出磁场强度的表达式 在此基础上结合矢量分析 可进一步导出恒定磁场其他的基本规律 磁通连续性原理和环路定理 1 安培力定律 Amp re sLaw 安培力定律描述了真空中两个电流回路间作用力 安培力 的规律 定律内容 真空中两电流回路C1 C2 载流分别为I1 I2 则C1上电流元对C2上电流元的作用力为 其中 真空中磁导率 则回路C1对C2的作用力为 回路C2对C1的作用力为 2 磁感应强度矢量B 磁场 电流在其周围形成的一种物质 磁场的重要特性 会对处于其中的运动电荷 电流 产生力的作用 称为磁场力 从而表现为电流与电流之间的作用力 磁感应强度B 描述磁场分布 可由安培力定律得到其表达式 因是I1的磁场对I2的作用 改写的表达式为 中的项只和电流I1有关 可视为电流I1在电流元处的磁场 称为磁感应强度 表示为 表示任意的电流回路C在空间任意点P的磁感应强度 根据矢量迭加原理 回路C上的电流元产生的磁场 毕奥 萨伐尔定理 例 计算半径为a的电流圆环轴线上任意点的磁感应强度 解 由毕奥 沙伐尔定理 3 恒定磁场的散度和旋度 恒定磁场的散度和磁通连续性原理 利用 将B改写为 由毕 萨定理 磁感应强度 再利用矢量恒等式 见本教程附录 进一步将B改写为 由于 算符只对场点坐标 不带撇 微分 故上式第二项为0 则 取其散度 无散场 磁力线是无头无尾的闭合线 恒定磁场的旋度和安培环路定理 恒定磁场是有旋场 电流J就是恒定磁场的漩涡源 真空中恒定磁场的基本方程 场的基本性质 有旋 无散 磁感应线是闭合线 电流是磁场的漩涡源 或 回顾本节知识结构 2 5媒质的电磁特性 a 加电场前 1 电介质的极化 c 极化后 极化强度 极化强度矢量P 描述介质极化程度的物理量 定义式 极化电荷密度 极化电荷体密度 在介质内任取一闭合面S 在S上取一面元dS 以dS为底 偶极子之正负电荷间距l为斜高构成如图所示的体积元 V 显然只有中心在 V内的偶极子才有正电荷穿出面元dS 则从面元dS穿出去的正电荷量 故从闭合面S穿出的正电荷量 由于S及V任意 所以有 若介质被均匀极化 则P与位置无关 有 因此均匀极化时介质内部无体极化电荷 第一个等号的理由 介质分界面上的极化电荷面密度 分界面上由介质1指向介质2的法向单位矢 而薄层内的净剩极化电荷量为 极化电荷面密度 介质1 介质2 介质中的Gauss定理 存在电介质时 极化产生的极化电荷 P也是产生电场的通量源 故 代入关系式有 定义电位移矢量D 介质中的Gauss定理 或 对于线性 各向同性介质 一般有 是自由电荷密度 例 半径为a 介电常数为 的球形电介质内的极化强度式中k为常数 1 计算极化电荷体密度和面密度 2 计算介质球内的自由电荷体密度 解 1 极化电荷体密度 球面上极化电荷面密度 介质球中心为球坐标原点 2 由介质中的Gauss定理 介质球内的自由电荷密度 而 即 所以 2 磁介质的磁化 分子电流模型 由于电子绕核运动 每个磁介质分子等效于一个环形电流 称分子电流 其磁特性可由磁偶极矩表示 和分子电流i的方向构成右手螺旋 S为分子电流所围面元 介质的磁化机理 a 磁化前 b 磁化时 宏观上出现了磁化电流 磁化后介质内部的磁感应强度 磁化电流的场 磁化强度 磁化强度矢量M 描述介质磁化程度 i e 分子磁矩取向程度 的物理量 磁化电流 介质内部的磁化电流体密度 介质表面的磁化电流面密度 由Stockes定理 流过介质中任意曲面S的磁化电流 介质表面的法向单位矢量 磁介质中的安培环路定理 存在磁介质时 磁化产生的磁化电流JM也是产生磁场的漩涡源 故 代入关系式 有 引入包含磁化效应的物理量 磁场强度矢量H 对于线性 各向同性磁介质 磁化率是无量纲常数 对于顺磁性物质 10 3的正数 抗磁性物质 10 6 10 5的负数 磁场强度 对非铁磁性材料 引入磁场强度矢量之后 介质中的环路定理写为 或 等式的右边仅为传导电流 磁化电流的影响则包含在磁场强度H中 例题 无限长线电流位于z轴 介质分界面为平面 求磁化电流分布 解 由磁场强度的定义知 由于磁场呈轴对称分布 可用安培环路定律求解磁场强度 其方向沿方向 是离导线的距离 介质中的磁化强度 介质内的磁化电流 介质分界面 z 0 的磁化面电流 3 介质的导电特性 导电介质的本构关系 链接 常见材料的电导率和相对介电常数 说明 1 只有理想导体内的恒定电场为0 2 在均匀导电媒质 是常量 内 电场E和J的方向相同 常见材料的电导率和相对介电常数 由于介质的电导率有限 外电场迫使电荷在介质中定向运动时要消耗电场能量 表现为发热损耗 或焦耳热 导电媒质中的能量损耗关系 小体积元内 产生的焦耳热功率为 所以 单位体积的功率损耗 i e 热功率密度 为 焦耳定律之微分形式 例题 一同心球形电容器的内 外半径a和b 其间媒质的电导率为 求电容器的漏电电导 解 由于媒质的电导率不为0 故存在漏电电流 其方向沿径向从内导体流向外导体 媒质内的损耗功率为 媒质的漏电电阻 媒质的漏电电导 小结 介质 真空 2 6电磁感应和位移电流 1 法拉第电磁感应定律 感应电场是有旋场 旋涡状 非保守场 空间的总电场 代表静电场 时变场 随时间变化 非静态场 情况下 电场的环流 讨论 1 若回路C静止 磁场B随时间变化 表明 a 随时间变化的磁场 漩涡源 将产生电场 若B是时间的非线性函数 则感应电场也是时间的函数 c 时变场情况下 电场E是有旋场 变化磁场是其漩涡源 在静态场情况下 电场E是无旋场 讨论 2 若回路C运动 磁场B恒定 则回路运动引起的感应电动势 讨论 3 若回路C运动 且磁场B随时间变化 感生电动势 动生电动势 电场的通量 由于感应电场Ein是有旋的 其电场线是无头无尾的闭合线 则 时变场的情况下 电位移的通量 2 位移电流 故 将代入电荷守恒定律 即 显然 项和电流密度J有相同的量纲 且与电位移D有关 故称之为位移电流密度 记为 位移电流密度 则有 另一方面 位移电流的几点说明 位移电流代表电场随时间的变化率 当电场发生变化时 会形成磁场的旋涡源 位移电流 从而激起磁场 时变场情况下 磁场仍是有旋场 但旋涡源除传导电流外 还有位移电流 位移电流是一种假想电流 由麦克斯韦用数学方法引入 但在此假说的基础上 麦克斯韦预言了电磁波的存在 而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在 从而反过来证明了位移电流理论的正确性 2 7麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组由麦克斯韦于1864年总结出来的 是揭示时变电磁场基本性质的基本方程组 在时变电磁场中 电场和磁场相互激励 形成统一不可分的整体 麦克斯韦方程组由四个方程构成 有微分和积分两种表达方式 1 麦克斯韦方程组的积分形式 2 麦克斯韦方程组的微分形式 3 关于麦氏方程的几点说明 因时变的电场和磁场可以相互激发 故它们能脱离场源 和 而存在 在离开场源的区域内 电场和磁场都是无散有旋的 电力线和磁力线形成无头无尾的闭合环 且相互交链 在空间形成电磁波传播 伟大的预言 若场变量不随时间变化 则麦氏方程过渡到静态场的基本方程 因此静态场只是时变场的特例 麦氏方程中只有 个方程独立 其中麦克斯韦第三方程可以由第二方程导出 因为 假定在过去或将来某个时刻 的散度为 则总有 麦氏方程的辅助方程 本构关系 麦氏方程组中只有 个独立方程 个旋度方程和 个散度方程 总计 个标量方程 而变量的数目有 个 个矢量和 个标量 总计 个标量 因此要完全确定场量必须引入辅助方程 介质的本构关系 2 8电磁场的边界条件 微分形式的麦氏方程要求场矢量必须处处可微 但在不同介质的分界面上 存在电荷和电流分布 导致界面上的场矢量不连续 有突变 因此界面上不适用微分形式的麦氏方程 但积分形式的麦氏方程则仍然可用 故可利用积分形式的麦氏方程导出界面上的场矢量满足的关系 边界条件来代替界面上的微分形式的麦氏方程 1 边界条件的一般形式 磁场强度H的边界条件 在界面上取矩形闭合回路abcd 短边长 h 0 长边平行界面 长度 l 将麦氏第一方程应用于回路 是回路所围面积S的法向单位矢 与绕行方向abcd成右螺关系 因 h 0 第一项实际上是回路包围的自由面电流 利用面电流公式 幻灯片9 该项为 右边第二项 因此 利用矢量恒等式 即得磁场强度H的边界条件 或 表明 界面上的自由面电流JS分布导致界面两侧磁场强度H的切向分量不连续 电场强度E的边界条件 将麦氏第二方程应用于回路abcd 与 类似的分析 可得 或 表明 界面上电场强度E的切向分量始终连续 磁感应强度B的边界条件 如图 取一小的闭合圆柱面 其高 h 0 两底面 S平行界面 应用麦氏第三方程 即得磁感应强度B的边界条件 表明 界面上磁感应强度B的法向分量始终连续 电位移矢量D