截面的几何性质

.附录 截面的几何性质I1 截面的静矩和形心位置dACzyyyCzCO图I1z如图I1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分 （I1）分别定义为该截面对于z轴和y轴的静矩。静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得利用公式（I1），上式可写成 （I2）或 （I3） （I4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即： （I5）式中Ai、yci和zci分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n为简单图形的个数。将式（I5）代入式（I4），得到组合图形形心坐标的计算公式为 （I6）yC0.12m0.4myy0.6m0.2mOyzCCC例题I1图例题I1 图a所示为对称T型截面，求该截面的形心位置。解：建立直角坐标系zOy，其中y为截面的对称轴。因图形相对于y轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此zC=0，只需计算yC值。将截面分成、两个矩形，则A=0.072m2，A=0.08m2y=0.46m，y=0.2m I2 惯性矩、惯性积和极惯性矩dAyyO图I2zz如图I2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy。现在图形内取微面积dA，dA的形心在坐标系zOy中的坐标为y和z，到坐标原点的距离为。现定义y2dA和z2dA为微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，2dA为微面积dA对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分 （I7）分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。由图（I2）可见，所以有 （I8）即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。另外，微面积dA与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积dA对y、z轴的惯性积，而积分 （I9）定义为该截面对于y、z轴的惯性积。从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是m4或mm4。zdACz1y1y1abO图I3z1yzyI3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式图I3所示为一任意截面，z、y为通过截面形心的一对正交轴，z1、y1为与z、y平行的坐标轴，截面形心C在坐标系z1O y1中的坐标为（b，a），已知截面对z、y轴惯性矩和惯性积为Iz、Iy、Iyz，下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积Iz1、Iy1、Iy1z1。 （I10）同理可得 （I11）式（I10）、（I11）称为惯性矩的平行移轴公式。下面求截面对y1、z1轴的惯性积。根据定义 由于z、y轴是截面的形心轴，所以Sz=Sy=0，即 （I12）式（I12）称为惯性积的平行移轴公式。二、惯性矩、惯性积的转轴公式图（I4）所示为一任意截面，z、y为过任一点O的一对正交轴，截面对z、y轴惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz已知。现将z、y轴绕O点旋转角（以逆时针方向为正）得到另一对正交轴z1、y1轴，下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积、。y1yz1zdAz1zyy1O图I4 （I13）同理可得 （I14） （I15）式（I13）、（I14）称为惯性矩的转轴公式，式（I15）称为惯性积的转轴公式。I4 形心主轴和形心主惯性矩一、主惯性轴、主惯性矩由式（I15）可以发现，当=0o，即两坐标轴互相重合时，；当=90o时，因此必定有这样的一对坐标轴，使截面对它的惯性积为零。通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯性轴，简称主轴，截面对主轴的惯性矩叫做主惯性矩。假设将z、y轴绕O点旋转0角得到主轴z0、y0，由主轴的定义从而得 （I16）上式就是确定主轴的公式，式中负号放在分子上，为的是和下面两式相符。这样确定的0角就使得等于。由式（I16）及三角公式可得将此二式代入到式（I13）、（I14）便可得到截面对主轴z0、y0的主惯性矩 （I17）二、形心主轴、形心主惯性矩通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。通过截面形心的主轴叫做形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩叫做形心主惯性矩。例题I5 求例I1中截面的形心主惯性矩。解：在例题I1中已求出形心位置为，过形心的主轴z0、y0如图所示，z0轴到两个矩形形心的距离分别为，截面对z0轴的惯性矩为两个矩形对z0轴的惯性矩之和，即 截面对y0轴惯性矩为第六章 梁的应力61 梁的正应力一、纯弯曲与平面假设本节将推导梁弯曲时横截面上正应力的计算公式。为了方便，我们先研究梁横截面上只有弯矩的情况，这种情况称为“纯弯曲”。如图61所示的梁，在如图所示荷载作用下，中间CD段就属于这种情况，由其剪力图和弯矩图可以看到，在CD段内的弯矩M=Fa=常数，而剪力FS等于零。FS图M图alABaACD图61(a)(b)(c)FFFFFa(b)图62(a)mnpqmnpqFFCD我们先作如下的实验，观察到如下的一些现象：（1）变形前，梁侧面上与纵向直线垂直的横向线在变形后仍为直线，并且仍然与变形后的梁轴线（简称挠曲线）保持垂直，但相对转过一个角度。（2）变形前互相平行的纵向直线，变形后均变为圆弧线，并且上部的纵线缩短，下部的纵线伸长。在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与梁横截面的交线称为中性轴。根据这些实验现象，我们对纯弯曲情况下作出如下假设：1.平面假设：梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，并且仍然与变形后的梁轴线保持垂直。图63中性层b中性轴(b)abO1O2mnpq(a)dxmnpqdy(c)dxabO2O12.单向受力假设：梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。二、正应力公式的推导1几何方面相应的纵向线应变为 (61)式（61）表明：梁的纵向纤维的应变与纤维距中性层的距离成正比，离中性层愈远，纤维的线应变愈大。dA图64yzOdAyzhb2物理方面在弹性范围内正应力与线应变的关系为将式（61）代入，得 （62）3静力学方面由图64可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=dA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量，由截面法可求得该截面上只有弯矩M，即上式中FN，My均等于零，所以有 （d） （e） （f）由式（d）得因E、为常量，所以有 （g）即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。由式（e）可得因此 （h）即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。最后由式（f）可得即式中是梁横截面对中性轴的惯性矩。将上式整理可得 （63）由式（63）可知：曲率与弯矩M成正比，与EIz成反比。在相同弯矩下，EIz值越大，梁的弯曲变形就越小。EIz表明梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的弯曲刚度。将式（63）代入式（62），可得 （64）这就是梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式。ACBFalbKyh/2h/2例题61图z例题61长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。解：先求出C截面上弯矩截面对中性轴的惯性矩将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。62 梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件最大正应力发生在距中性轴最远的位置，此时而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上，距中性轴最远的位置，即引用符号，则上式可改写成 （65）式中的Wz叫做弯曲截面系数（或抗弯截面系数），它与梁的截面形状和尺寸有关。对矩形截面对圆形截面正应力强度条件为 （66）二、三种强度问题的计算根据式（66）可以求解与梁强度有关的三种问题。（1）强度校核（2）选择截面 此时应将式（106）改写为（3）确定许用荷载 此时应将式（106）改写为(b) M图qlBA(a)例题62图bh例题62 图a所示一矩形截面的简支木梁，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应力=10Mpa，校核该梁的强度。解：先画梁的弯矩图（图b）。由梁的弯矩图可以看出，梁中最大弯矩应发生在跨中截面上，其值为弯曲截面系数为由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有所以满足正应力强度要求。63 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件一、矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力公式的推导，采用了下面的两条假设：（1）横截面上各点切应力均与侧边平行。（2）切应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点的切应力相等。aaFxAB图65bhdxbb （68）式（68）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中：FS为横截面上的剪力；S z*为面积A1对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。图67max(b)bhzyA1(a)y对于矩形截面梁，由图67a可知 (e)将其代入式（68），可得 (f)此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘（）处，=0，而在中性轴上（y=0）的切应力有最大值，如图107b。即 (g)例题65 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m m截面上K点的切应力。习题65图Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*解：先求出m m截面上的剪力为3kN，截面对中性轴的惯性矩为面积A*对中性轴的静矩为则K点的切应力为二、工字形截面梁的切应力1腹板上的切应力式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度。图68(b)(c)(a)切应力沿腹板高度的分布规律如图68a所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力max仍发生在截面的中性轴上。2翼缘上的切应力翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；为翼缘的厚度。三、T字型截面梁的切应力T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算：最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。四、圆形及环形截面梁的切应力圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为圆形截面式中FS为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积。薄壁环型截面式中FS为横截面上的剪力，A为薄壁环型截面的面积。五、梁的切应力强度条件 （69）此式即为切应力的强度条件。例题66 一外伸工字型钢梁如图a所示。工字钢的型号为22a，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用应力=170MPa，=100MPa,试校核梁的强度。qA(a)BCFl/3Dl/2l/212kN17kN13kN(b) FS图例题66图39kN.m12kN.m(c) M图解：（1）校核最大正应力弯矩图如图c所示，最大正应力应发生在最大弯矩的截面上。查型钢表可知则最大正应力（2）校核最大切应力剪力图如图b所示，最大切应力应发生在最大剪力的截面上。查型钢表可知则最大切应力所以此梁安全。64 梁的合理截面形状及变截面梁一、梁的合理截面形式由梁的强度条件公式（66）可知,梁的抗弯能力直接取决于其弯曲截面系数Wz的大小。所以梁的合理截面形式就是截面面积相同的条件下具有较大的弯曲截面系数。Wz值与截面的高度及截面的面积分布有关。截面的高度愈大，面积分布得离中性轴愈远，Wz值就愈大；反之，截面的高度愈小，面积分布得离