数学：第一讲 长方体与正方体 讲义

五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 1 长长长方方方体体体与与与正正正方方方体体体 1 1 1 根据长方体 正方体的表面积 体积公式 完成下面的表 格 长方体 长 宽 高 棱长和 表面积 体积 a b c 4 3 2 8 4 72 5 3 60 3 2 72 正方体 棱长 棱长和 表面积 体积 a 1 24 54 64 长方体基本公式 例例1 了解勾股定理历史 定义 了解勾股定理和弦图的证明 利用平方差公式和勾股定理解决 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 2 分析 分析 长方体 长 宽 高 棱长和 表面积 体积 a b c 4 a b c 2 ab ac bc abc 4 3 2 36 52 24 8 6 4 72 208 192 5 3 4 48 94 60 3 2 6 44 72 36 正方体 棱长 棱长和 表面积 体积 a 12a 2 6a 3 a 1 12 6 1 2 24 24 8 3 36 54 27 4 48 96 64 一个长方体的长 宽 高分别变为原来的 2 倍 那么棱长 和变为原来的 倍 表面积变为原来的 倍 体积 变为原来的 倍 一个正方体的棱长增加 2 倍 那 么棱长和增加了 倍 表面积增加了 倍 体积增 练一练练一练 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 3 加了 倍 长方体基本公式 分析 分析 2 4 8 2 8 26 一个无盖木盒从外面量时 其长 宽 高分别为 10 厘米 8 厘米 5 厘米 已知木板厚 1 厘米 那么这个木盒的材 料体积是多少 长方体基本公式 分析 分析 这个木盒的容积是 10 2 82 51 192 外观体积是10 85400 所以材料体积是 400 192 208 立方厘米 1 如图 一个长 宽 高分别为 6 厘米 5 厘米 7 厘 米的长方体 3 刀切成 8 个小长方体 这 8 个小长方体的 体积之和是 立方厘米 表面积之和是 平方厘米 长方体的切割与粘合 5 7 6 例例3 例例2 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 4 2 下图的切割点均为所在棱的中点 如果按照左图切 割 那么表面积总和增加了 4 那么按照右图切割 表面 积总和增加 长方体的切割与粘合 3 如图一个棱长为 5 的大正方体 分别在六个面的中 心粘上一个棱长为 2 的小正方体 构成的几何体的表面积 是 长方体的切割与粘合 分析 分析 1 切开后体积不变 所以体积和是 6 5 7 210 立方厘米 每个截面会使表面积增加两次 所以总的表面 积是 6 56757 2652672572 6 56757 41074428 立方厘米 2 第一个截面是一个正三角形 第二个截面是一个正 六边形 它们的边长相等 后者面积是前者面积的 6 倍 所以按照右图切 表面积总和增加 4 6 24 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 5 3 两种正方体的表面积分别为 6 5 150 6 2 2 24 粘合 后 总的表面积减少了 12 个粘合面 粘合面的面积是 2 2 4 所以应该是 150 24 6 4 2 6 246 如图 长方体的长 宽 高分别为 4 厘米 3 厘米 6 厘 米 沿着上底面的两条对角线以及平行于长 宽的两条线 竖直切下去 分成的 8 块几何体的表面积总共是多少 长方体的切割与粘合 分析 分析 原表面积为 4 34636 2108 平方厘米 平行于长 宽的两个面的面积分别是 4 6 24 平方厘米 3 6 18 平方厘米 两个沿着对角线切的截面面积都是 5 6 30平方厘米 所以表面积总共是108 24 18 30 30 2 312 平方厘米 分别由 6 15 15 个棱长为 1 的小正方体堆叠成如图所示 的几种立体图形 它们的表面积是多少 3 6 4 例例4 练一练练一练 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 6 三视图求表面积 图 1 图 2 图 3 分析 分析 三视图法 图 1 的主视图 俯视图 左视图分别是 表面积就是 4 4 5 2 26 图 2 的主视图 俯视图 左视图分别是 表面积是 8 10 7 2 50 图 3 的主视图 俯视图 左视图分别是 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 7 但是左视图中有一个凹槽 所以表面积是 7 9 7 1 2 48 如图 棱长分别为1厘米 2厘米 3厘米 5厘米的四 个正方体紧贴在一起 则所得到的多面体的表面积是多 少 三视图求表面积 分析 分析 法 1 四 个 正 方 体 的 表 面 积 之 和 为 2222 1235 639 6234 平方厘米 粘合的面积为 222222 123 12 120 平方厘米 所以 所得到的多面体的表面积为 234 202194 平 方厘米 法 2 三视图法 从前后面观察到的面积为 222 53238 平 方厘米 从左右两个面观察到的面积为 22 5334 平方厘米 从上下能观察到的面积为 2 525 平方厘米 表面积为 3834252194 平方厘米 例例5 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 8 1 在一个棱长为 5 的正方体中 分别在角上 棱上 面上挖掉一个棱长为 2 的小正方体 形成的几何体的表面 积分别是多少 长方体挖洞 2 在一个棱长为 10 厘米的正方体中 挖去一个长 宽 高分别为 10 厘米 2 厘米 2 厘米的小长方体 以下四种 情况的几何体的表面积分别是多少 分析 分析 1 用平移的眼光来看待 在角上挖时表面积 不变 仍然是 6 5 150 在棱上挖时 多了左右两个面 所以是 150 2 2 158 在面上挖时 多了四周四个面 所以是 150 2 4 166 2 原正方体的表面积是 2 6 10600 平方厘米 第一种情况 减少了左右两个面 所以是 2 60022592 平方厘米 第二种情况 减少了左右两个面 增加了上下两个面 所 以是 2 600221022632 平方厘米 例例6 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 9 第三种情况 减少了左右两个面 增加了上下两个面 增 加了前后两个面 所以是 2 600221024672 平方厘 米 第 四 种 情 况 增 加 了 四 周 四 个 面 所 以 是 平方厘米 如图 一个长 30 分米 宽 10 分米 高 12 分米的长方体 玻璃缸 存有四分之三的水 请问 1 将一个高 11 分米 体积 330 立方分米的圆柱体铁块 竖直放入玻璃缸 水面的高度为多少分米 2 如果再竖直放入一个同样的圆柱 水面高度又变成 了多少分米 3 如果再竖直放入一个同样的圆柱 水面高度又变成 了多少分米 水中浸物 分析 分析 1 若部分浸没 现知原长方体水的体积为 30 10 92700 立方分米 而现在放入的圆柱的底面积为 330 1130 平方分米 将圆柱放入后 除去现在的圆柱即 例例7 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 10 为有水部分 则水面高度为 27003003010 分米 由于 1011 不符合部分浸 没 因此圆柱被完全浸没 所以现在的体积总共为 270033023360 立方分米 则高应为3360 30011 2 分 米 3 再放入一个同样的圆柱 必定完全浸没 此时体积 总 共 是 算 出 水 面 高 度 是 3690 300 12 3 已经超过 12 有水溢出 此时水面高度 应为 12 分米 一个长 宽 高分别为 3 分米 3 分米 20 分米的长方体 容器中 存有的水深度为 8 分米 现在往里面放入棱长为 2 分米的小正方体 一个一个依次堆叠在原来正方体的上 面 问 当堆叠到第几个小正方体时 小正方体才能露出 水面 此时露出水面的部分体积是多少 水中浸物 分析 分析 可以想象一个底面为 2 2 的足够高的长方体放 入容器内 部分浸没 水深为 222 38 32 14 4 分米 练一练练一练 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 11 所以堆叠到第 8 个小正方体时才能露出水面 露出水面部 分的体积是 2 2 16 14 4 6 4 立方分米 如图 有一个棱长为 10 厘米的正方体铁块 现已在每两 个对面的中央钻一个边长为 4 厘米的正方形孔 边平行于 正方体的棱 且穿透 另有一长方体容器 从内部量 长 宽 高分别为 15 厘米 12 厘米 9 厘米 内部有水 水深 3 厘米 若将正方体铁块平放入长方体容器 铁块在水下 部分的体积为 立方厘米 水中浸物 分析 分析 可以把正方体铁块看作三层 最下面一层为中 央穿孔的长方体 高为3厘米 中间一层为4个长方体立 柱 高为4厘米 最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔 的长方体 由于长方体容器内原有水深 3 厘米 所以正方 体铁块放入水中后 铁块最下面一层肯定全部在水中 而 水也不可能上升到最上面一层 即恰在中间一层 设水面 上升了h厘米 则中间一层在水中的部分恰好为h厘米 由于水面上升是由于铁块放入水中导致 水面上升的体积 例例8 五年级 第 1 讲 长方体与正方体 C 版 12 即等于铁块在水下部分的体积 即 15 12h 22 104 2 334h 解得 7 4 h 故铁块在水下部分的体积为