随机过程第六章

1 第六章 平稳随机过程 严平稳过程的定义宽平稳过程的定义平稳过程的数字特征平稳过程自相关函数的性质时间平均和集合平均的概念平稳过程遍历性定义遍历性判定定理遍历性应用举例 2 严平稳过程的定义 设 X t t T 是随机过程 如果对任意常数 和正整数n t1 t2 tn T t1 t2 tn T X t1 X t2 X tn 与 X t1 X t2 X tn 有相同的联合分布 则称 X t t T 为严平稳过程或侠义平稳过程 严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的 在实际应用中难以确定 3 宽平稳过程的定义 设 X t t T 是随机过程 如果 1 X t t T 是二阶矩过程 2 对任意t T mX t EX t 常数 3 对任意s t T RX s t E X s X t RX s t 则称 X t t T 为广义平稳过程 简称为宽平稳过程 4 对于严平稳随机过程X t 以实过程为例 的一维分布F1 X1 t1 F1 X1 t1 若令 t1 则F1 X1 t1 F1 X1 0 F1 X1 因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关 其在任何时刻的统计规律相等 若随机过程X t 为严平稳 则其均值 均方值和方差均为常数 5 对于严平稳随机过程X t 的二维分布F2 X1 X2 t1 t2 F2 X1 X2 t1 t2 若令 t1 则F2 X1 X2 t1 t2 F2 X1 X2 0 t2 t1 令t2 t1 则F2 X1 X2 t1 t2 F2 X1 X2 严平稳过程 二阶矩过程 宽平稳 反之不成立 6 例题1 设Y是随机变量 试分别考虑X t Y和X t tY的平稳性 例题2 设 Xn n 0 1 2 是实的互不相关随机变量序列 且E Xn 0 D Xn 2 试讨论随机序列的平稳性 例题3 设 Xn n 1 2 是相互独立且都服从N 0 1 的随机变量序列 Yn n 1 2 是相互独立且都服从上的均匀分布的随机变量序列 且Xn与Yn相互独立 n 1 2 令 证明 Zn n 1 2 是宽平稳过程 但不是严平稳过程 7 联合平稳过程 设 X t t T 和 Y t t T 是两个平稳过程 若它们的互相关函数和仅与 有关 而与t无关 则称X t 和Y t 是联合平稳随机过程 当两个平稳过程X t Y t 是联合平稳时 则它们的和也是平稳过程 8 4 RX 是非负定的 即对任意实数t1 t2 tn及复数a1 a2 an 有 平稳过程自相关函数的性质 设 x t t T 为平稳过程 则其相关函数具有下列性质 5 若X t 是周期为T的周期函数 即X t X t T 则RX RX T 6 若X t 是不含周期分量的非周期过程 当 时 X t 与X t 相互独立 则 1 2 3 9 联合平稳过程自相关函数的性质 10 收敛性概念 对于概率空间 F P 上的随机序列 Xn 每个试验结果e都对应一序列 如果该序列对每个e都收敛 则称随机序列 Xn 处处收敛 即满足 称二阶矩随机序列 Xn e 以概率1收敛于二阶矩随机变量X e 即 或称 Xn e 几乎处处收敛于X e 及作 称二阶矩随机序列 Xn e 依概率收敛于二阶矩随机变量X e 若对于任给 0 有 记作 11 设有二阶矩随机序列 Xn 和二阶矩随机变量X 若有 成立 则称 Xn 均方收敛于X 记作 称二阶矩随机序列 Xn 依分布收敛于二阶矩随机变量X 若 Xn 相应的分布函数列 Fn x 在X的分布函数F x 的每一个连续点处 有 记作 12 定理6 3设 Xn Yn Zn 都是二阶矩随机序列 U为二阶矩随机变量 Cn 为常数序列 a b c为常数 令l i mXn X l i mYn Y l i mZn Z 有 13 定理6 4设 Xn 为二阶矩随机序列 则 Xn 均方收敛的充要条件为下列极限存在 定义6 6设有二阶矩过程 X t t T 若对每一个t T 有 则称X t 在t点均方连续 记作若T中一切点都均方连续 则称X t 在T上均方连续 定理6 5二阶矩过程 X t t T 在t点均方连续的充要条件为相关函数RX t1 t2 在点 t t 处连续 14 均方导数 定义6 7设 X t t T 为二阶矩过程 若存在另一个随机过程X t 满足 则称X t 在t点均方可微 记作 15 二阶矩过程的相关函数RX t1 t2 的广义二阶导数记作 定理6 6二阶矩过程 X t t T 在t点均方可微的充要条件微相关函数RX t1 t2 在点 t t 的广义二阶导数存在 推论 数学期望运算与求导运算可以交换顺序 16 均方积分 定义6 8设 X t t T 为二阶矩过程 f t 为普通函数 其中T a b 设T的任一划分为a t0 t1 tn b 记做和式如果当 n 0时 Sn均方收敛于S 即 则称f t X t 在区间 a b 上均方可积 记作 定理6 7f t X t 在区间 a b 上均方可积的充要条件为 存在 二阶矩过程X t 在区间 a b 上均方可积的充要条件为RX t1 t2 在 a b a b 上可积 18 定理6 8设f t X t 在区间 a b 上均方可积 则有 定理6 9设 X t t T 为二阶矩过程在区间 a b 上均方连续 则在均方意义下存在 且随机过程 Y t t T 在区间 a b 上均方可微 且有Y t X t 19 20 时间平均和集合平均概念 集合平均 mX是随机过程的均值 即任意时刻的过程取值的统计平均 时间平均 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均 它随样本不同而不同 是个随机变量 对于一个确定的样本 时间平均 集合平均 21 定义6 10设 X t t 是均方连续的平稳过程 若以概率1成立 则称该平稳过程的均值具有各态历经性 若以概率1成立 则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性 定义6 11如果均方连续的平稳过程 X t t T 的均值和相关函数都具有各态历经性 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性 22 定理6 10设 X t t 是均方连续的平稳过程 则它的均值具有各态历经性的充要条件为 例题6 9 随机过程X t acos wt a w为常数 为 0 2 上均匀分布的随机变量 试分析X t 遍历性 23 24 定理6 11设 X t t 是均方连续的