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淋雨问题数学建模 数091 2班张烁 来教室的时候天气晴朗均未带雨伞 而现在突降大雨 教室和家只相距1km 你有急事课后必须冒雨跑步回家 试建立数学模型探讨是否跑得越快淋雨就越少 一 问题提出 1 把人体视为长方体 2 降雨大小用降雨强度I厘米 时来描述 降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度 在这里可视其为一常量 3 降雨方向保持不变 4 你以一定常的速度跑完全程 二 模型假设及符号说明 符号说明 人在雨中行走时可能出现以下三种情形 情形一 雨垂直下落 人以速度v前行 此时降雨淋遍全身 三 模型的建立 淋雨的面积 雨中行走的时间 降雨强度 模型中 1 情形二 雨迎面吹来 雨线与跑步方向在同一平面内 与人的正面夹角为 此时后背淋不到雨 如图2所示 图2 当雨迎面吹来时 只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积 记顶部面积为s1 迎面部分面积为s2 则 分别计算其淋雨量如下 淋雨时间 雨速垂直分量 雨速水平分量 顶部淋雨量 迎面淋雨量 所以总的淋雨量为 2 情形三 雨从背面吹来 雨线方向与跑步方向在同一平面内 与人的背后夹角为 此时正面淋不到雨 如图3所示 图3 当雨从背面吹来时 只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积 记顶部面积为s3 背面部分面积为s4 则 分别计算其淋雨量如下 淋雨时间 雨速垂直分量 雨速水平分量 故相对雨速v 方向与v相同 故相对雨速 顶部淋雨量 背面的淋雨量 总淋雨量为 3 由 1 式知总淋雨量 易知v越大 Q值越小 故此时跑得越快 所淋到的雨量越少 即 当 时 最小 对 2 式关于v求导可得 故Q关于v是单调递减函数 故此种情况下 当 最小 时 对 3 式 分以下两种情况讨论如下 关于v求导可得 可知v越大 淋雨量Q越小 又因为 故知当 时 Q最小 由上面的求解过程我们可看出 当雨垂直落下和迎面吹来时 跑的速度越快淋雨越少 而当雨从背面吹来时 当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角 满足 时
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