利用导数探究函数的零点问题专题讲座ppt课件

利用导数探究函数的零点问题专题讲座 深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰 2014年全国卷 已知函数 若存在唯一的零点 且 则的取值范围 函数零点是新课标教材的新增内容之一 纵观近几年全国各地的高考试题 经常出现一些与零点有关的问题 它可以以选择题 填空题的形式出现 也可以在解答题中与其它知识交汇后闪亮登场 可以说 零点 成为了高考新的热点和亮点 函数与方程 函数与图像 结论 函数的零点就是方程f x 0的实数根 也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 等价关系 方程f x 0有实数根 唯一 零点的存在性定理 等价关系 除了用判定定理外 你还想到什么方法呢 导数在函数零点问题上的应用 导数的应用 数形结合 零数 零位 参数范围 研究两条曲线的交点个数的基本方法 1 数形结合法 通过画出两个函数图象 研究图形交点个数得出答案 2 函数与方程法 通过构造函数 研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数 1 三次函数的图象四种类型 2 三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下 由于当x 时 函数值也趋向 因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可 存在两个极值点x1 x2且x1 x2的函数f x ax3 bx2 cx d a 0 的零点分布情况如下 例1 函数f x x3 3x2 a a R 的零点个数 例题选讲 一 三次函数的零点问题 函数f x x3 3x2 a a R 的零点个数 几何画板演示 函数f x x3 3x2 a a R 的零点个数 几何画板演示 已知函数f x x3 x2 x a的图象与x轴仅有一个交点 求实数a的取值范围 巩固练习1 几何画板演示 巩固练习2 当x变化时 g x 与g x 的变化情况如下 所以 g 0 t 3是g x 的极大值 g 1 t 1是g x 的极小值 当g 0 t 3 0 即t 3时 此时g x 在区间 1 和 1 上分别至多有1个零点 所以g x 至多有2个零点 当g 1 t 1 0 即t 1时 此时g x 在区间 0 和 0 上分别至多有1个零点 所以g x 至多有2个零点 当g 0 0且g 1 0 即 3 t 1时 因为g 1 t 7 0 g 2 t 11 0 所以g x 分别在区间 1 0 0 1 和 1 2 上恰有1个零点 由于g x 在区间 0 和 1 上单调 所以g x 分别在区间 0 和 1 上恰有1个零点 综上可知 当过点P 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切时 t的取值范围是 3 1 探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标 解题时先不要管其他条件 先使用曲线上点的横坐标表达切线方程 再考虑该切线与其他条件的关系 如本题第 2 问中的切线过点 1 t 巩固练习3 2 证明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 1 0 g 0 4 所以g x 0在 0 有唯一实根 当x 0时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 没有实根 综上 g x 0在R有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 探究提高研究方程的根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图象判断方程根的情况 这是导数这一工具在研究方程中的重要应用 例题选讲 二 非三次函数的零点问题 几何画板演示 附 非三次函数的零点问题也是通过导数求极值来画出其图象 采用类似于三次函数的方法探究零点 例题选讲 f x 与f x 在区间 0 上的变化情况如下表 探究提高对于函数零点的个数的相关问题 利用导数和数形结合的数学思想来求解 这类问题求解的通法是 1 构造函数 这是解决此类题的关键点和难点 并求其定义域 2 求导数 得单调区间和极值点 3 画出函数草图 4 数形结合 挖掘隐含条件 确定函数图象与x轴的交点情况进而求解 1 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 课后测试 几何画板演示 解 1 设曲线y f x 与x轴切于点 则 即解得当时 x轴是y f x 的切线 3 已知函数 g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 2 当x 1时 g x lnx 0 从而h x min f x g x g x 0故h x 在无零点 当x 1时 若 则f 1 h 1 min f 1 g 1 g 1 0 x 1是h x 的一个零点若 则h 1 f 1 0 h x 无零点 当00无零点 只需考虑f x 在 0 1 上的零点个数 当a 0时 f x 在 0 1 单调递增且f 0 0故f x 0 1 上无零点 当a 3时 f x 在 0 1 单调递减且 f x 在 0 1 内仅有一个零点 当 3 a 0时 f x 在上单调递减 在上单调递增故f x 在 0 1 上的最小值为 a 若 即时 f x 在 0 1 上无零点 b 若 即时 f x 在 0 1 上有一个零点 c 当 即时 综上所述 当或时 h x 有一个零点 当或时