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柯西不等式满分:班级：_姓名：_考号：_一、单选题（共5小题）1设正实数满足则当取得最大值时，的最大值为（ ）A0B1CD3考点：柯西不等式答案：B试题解析：由得。所以当且仅当，即时取等号此时，故选B2设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则（ ）ABCD考点：柯西不等式答案：C试题解析：由于，等号成立当且仅当，则，所以由题知，又，所以，答案选C。3x、y0, xy=1, 且 a恒成立, 则a的最小值为AB 2C2D考点：柯西不等式答案：D试题解析：解：因为x、y0, xy=1,要使 a恒成立，则a大于等于的最大值即可。而4若0x1x2, 0y1y2，且x1x2=y1y2=1，则下列代数式中值最大的是（）Ax1y1x2y2Bx1x2y1y2Cx1y2x2y1D考点：柯西不等式答案：A试题解析：试题分析：依题意取x1=，x2=，y1=，y2=。计算x1y1x2y2=，x1x2y1y2=，x1y2x2y1=，故选A。考点：本题主要考查不等式的性质，选择题的灵活解法。点评：简单题，本题可利用“特殊值法”解答，体现选择题解法的灵活性。5对于实数若则的最大值为( )A5B2C4D3考点：柯西不等式答案：A试题解析：|x-2y+1|=|（x-1）-2（y-1）|x-1|+2|（y-2）+1|x-1|+2|y-2|+2，再由|x-1|1，|y-2|1可得|x-1|+2|y-2|+21+2+2=5，故|x-2y+1|的最大值为5，故答案为A二、多选题（共1小题）6设是正数，且，则ABCD考点：柯西不等式答案：C试题解析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.由于等号成立当且仅当则a=t x b=t y c=t z ，所以由题知又，答案选C。第II卷（非选择题）本试卷第二部分共有45道试题。三、解答题（共24小题）7.已知关于x的不等式|x+a|b的解集为.（）求实数a，b的值.（）求+的最大值.考点：柯西不等式绝对值不等式答案：（）a=-3，b=1；（）4试题解析：（）由，得，由题意得，解得；（）柯西不等式得，当且仅当即时等号成立，故.8.（1）试证明柯西不等式：()（2）若且，求的最小值考点：柯西不等式答案：见解析试题解析：（1）证明：左边右边左边右边所以左边右边（2）令，则，因为，所以所以由柯西不等式得当且仅当，即，或，时的最小值为19.（1）试证明柯西不等式：()（2）若且，求的最小值.考点：柯西不等式答案：见解析试题解析：（1）证明：左边右边 左边右边 所以左边右边（2）令，则，因为，所以所以由柯西不等式得当且仅当，即，或，时的最小值为110.（1）矩阵与变换已知平行四边形的四个顶点的坐标分别为，.其在矩阵所对应的变换作用下变成菱形。（）求的值;（）求矩阵的逆矩阵（2）极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（）已知曲线的极坐标方程为,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;（）若在平面直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为(，为参数）已知曲线上的点M(1，)及对应的参数求曲线的直角坐标方程;（3）不等式选讲已知函数.（）求证：,并说明等号成立的条件;（）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.考点：矩阵行列式参数方程极坐标柯西不等式绝对值不等式答案：见解析试题解析：（1）解：（）由题意可知点在矩阵所对应的变换作用下变成点，故点，显然四边形为平行四边形，故要使得为菱形，只需，即，由，解得(2)（）由，故解析：（I）x2+y2=6x（）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线C的方程为.(3)（）由柯西不等式得，所以. 当且仅当，即时，等号成立（）由（）知，又不等式恒成立，所以，解得或.故的取值范围为11.(1)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A在直线上。（）求的值及直线的直角坐标方程；（）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.（2）已知不等式的解集与关于的不等式的解集相等（）求实数，的值；（）求函数的最大值，以及取得最大值时的值考点：参数方程极坐标柯西不等式答案：见解析试题解析：（）由点在直线上，可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为（）由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为，半径以为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交（）不等式的解集为，不等式的解集为.从而为方程的两根，解得：（）函数的定义域为，且显然有，由柯西不等式可得：，当且仅当:时等号成立，即时，函数取得最大值12.(1)矩阵与变换若二阶矩阵满足.()求二阶矩阵；()把矩阵所对应的变换作用在曲线上，求所得曲线的方程.(2)坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程(为参数)(I)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，点的极坐标，判断点与直线的位置关系；(II)设点为曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.(3)不等式选讲已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.()求整数的值;()已知，若，求的最大值考点：柯西不等式绝对值不等式参数方程极坐标矩阵行列式答案：见解析试题解析：（1）解：（）记矩阵，故，故.由已知得.（）设二阶矩阵所对应的变换为，得，解得，又，故有，化简得.故所得曲线的方程为.（2）（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点P在直线上.（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线的距离为，由此得，当时，d取得最小值（3）（ I ），得 不等式的整数解为2， 又不等式仅有一个整数解2， （）显然由柯西不等式可知： 所以即当且仅当时取等号，最大值为13. 已知，证明考点：柯西不等式答案：见解析试题解析：14.若均为正实数，并且，求证：考点：柯西不等式不等式证明答案：见详解试题解析：根据柯西不等式和不等式的基本性质证明，又15.已知函数f（x）=m-|x-2|，mR，且f（x+2）0的解集为-1,1. （）求m的值；（）若a，b，cR，且，求证：考点：柯西不等式答案：（1）（2）见解析试题解析：（1）的解集是，故。（2）由（1）知，由柯西不等式得16.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分（1）选修4-2：矩阵与变换变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.（）求变换的矩阵；（）圆在变换的作用下变成了什么图形？（2）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.（）求曲线的直角坐标方程；（）直线上有一定点，曲线与交于M，N两点，求的值（3）选修4-5：不等式选讲已知为实数，且（）求证：（）求实数m的取值范围考点：柯西不等式答案：（1）解：（）由已知得T:变化T的矩阵是3分（）由得：4分代入方程，得：6分圆C:在变化T的作用下变成了椭圆7分（2）解：（）由得即，从而整理得 3分（）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，得.由的几何意义知 7分（3）解：（）由柯西不等式得2分即4分（）由已知得6分又7分试题解析：17.不等式选讲。已知均为正实数，且.求的最大值.考点：柯西不等式答案：解：由柯西不等式得当且仅当a=b=c=时等号成立故的最大值为.试题解析：18.已知考点：柯西不等式答案：综上的取值范围为试题解析：19.证明：对于任意的，恒有不等式考点：柯西不等式答案：见解析试题解析：证明：设，则而即，得20.已知考点：柯西不等式答案：综上的取值范围为试题解析：21.（选修45：不等式选讲）求函数最大值.考点：柯西不等式答案：3试题解析：解：因为 6分 8分，当且仅当时取“”号，即当时， 10分22.设且（I）当时，求的取值范围；（II）当时，求的最小值.考点：柯西不等式答案：（I）；（II）试题解析：（I）当z=1时，可得,解出y代入可得到关于x的绝对值不等式，再采用零点分段法，去绝对值，分段求解即可.(II)根据柯西不等式，然后转化为,即可求出的最小值.（I）当 时，则，即，代入原不等式化简得，解得（II）即，当且仅当，又，即时，23.已知实数满足，且的最大值是7，求的值考点：柯西不等式答案：.试题解析：本题是考查柯西不等式的应用.根据柯西不等式：,可得出的最大值,从而可根据最大值为7,建立关于a的方程解出a值.解：由柯西不等式：. 6分因为所以，即.9分因为的最大值是7,所以，得，10分当时，取最大值，所以.13分24.（本大题9分）已知大于1的正数满足（1）求证：（2）求的最小值.考点：柯西不等式答案：（1）见解析；（2）3.试题解析：（1）根据柯西不等式证明即可.(2)然后再根据柯西不等式证明即可.证明：（1）由柯西不等式得：得：（2）由柯西不等式得：，所以，得所以，当且仅当时，等号成立.故所求的最小值是3.25.选修45；不等式选讲已知f(x)=x|x-a|-2(1)当a=1时，解不等式f(x)|x-2|(2)当x(0,1时，f(x)x2-1恒成立，求实数a的取值范围。考点：柯西不等式答案：试题解析：26.（I）试证明柯西不等式：（II）已知，且，求的最小值考点：柯西不等式答案：（1）对于不等式的证明可以运用综合法也可以运用分析法来得到。也可以运用作差法加以证明。（2）根据题意，由于，那么结合均值不等式来求解最值。试题解析：试题分析：（）证明：左边=,右边=,左边右边,2分左边右边, 命题得证.3分（）令，则, 4分由柯西不等式得：,5分当且仅当，即，或时 6分的最小值是1 .7分解法2：, 4分，5分当且仅当，或时6分的最小值是1.7分考点：不等式的证明与求解最值点评：主要是考查了不等式的证明，以及均值不等式求解最值的运用，属于中档题。27.（本题12分）已知实数a,b,c,d满足abcd=3，a22b23c26d2=5，求证：（）；（）.考点：柯西不等式答案：（）应用柯西不等式 ，。（）由（）得（3a）25a2，推出。试题解析：试题分析：（）（）由（）得（3a）25a2考点：本题主要考查柯西不等式的应用，不等式的证明。点评：中档题，关键是根据已知条件，构造柯西不等式，对考查考生创新思维，有较好的作用。28.已知函数.（1）求最大值？（2）若存在实数使成立，求实数的取值范围。考点：柯西不等式答案：（1）最大值是3.（2）实数的取值范围。试题解析：试题分析：（1）由柯西不等式有当且仅当，即时，等号成立。所以，最大值的是3.（2）依题意，只须，由（1）得，解得。所以，实数的取值范围。考点：本题主要考查柯西不等式的应用，不等式恒成立问题。点评：中档题，涉及不等式恒成立问题，往往应用“转化与化归思想”，将问题转化成求函数的最值问题，利用不等式或导数，求函数的最值。29.设正数,(1)满足，求证：；(2)若，求的最小值。考点：柯西不等式答案：（1）不等式的证明，可以运用均值不等式来得到证明。（2）根据均值不等式的一正二定三相等来求解最值。试题解析：试题分析：证明：（利用柯西不等式）根据题意，由于，那么，在可以根据均值不等式同时取得等号得到其最小值为考点：均值不等式点评：主要是考查了不等式的证明以及最值的求解，属于中档题。30.已知，则考点：柯西不等式答案：利用三角形的三边的不等关系，通过构造共顶点的三个120度的角，来分析证明得到。试题解析：本试题考查了不等式的证明试题分析：证如下：作AOB = BOC = COA = 120,设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z两边之和小于第三边得证。（不等式证明方法很多，请阅卷老师酌情给分）考点：不等式的证明点评：对于不等式的证明，可以构造函数来结合函数的单调性来得到不等式的关系，也可以直接运用均值不等式来放缩得到结论，也可以结合两点的距离公式理解不等式来求解得到，是一道有难度的试题。四、填空题（共21小题）31.若，且，则的最小值为_考点：柯西不等式答案：4试题解析：由柯西不等式可知所以32. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为_考点：柯西不等式答案：-1试题解析：，由柯西不等式得，当最大时，当b=-2时，取得最小值为-133.（不等式选做题）设，且，则的最小值为_.考点：柯西不等式答案：试题解析：利用柯西不等式与34.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .考点：柯西不等式答案：-2试题解析：35.已知a,b均为正数且的最大值为 考点：柯西不等式答案：试题解析：由柯西不等式可得：36.设，且，则的最小值为_考点：柯西不等式答案：试题解析：利用柯西不等式与37. 已知实数满足，则的最大值是_；考点：柯西不等式答案：试题解析：，可以看做是关于b的一元二次方程，且方程有解，所以38.已知a, b, m, n均为正数, 且ab1, mn2, 则(ambn)(bman)的最小值为 .考点：柯西不等式答案：2试题解析：由柯西不等式可得39. 已知 .考点：柯西不等式答案：12试题解析：，所以.40.设x，y，zR，且满足：，则x+y+z=_考点：柯西不等式答案：试题解析：根据柯西不等式，得当且仅当时，上式的等号成立，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=+=故答案为：41.已知、均为正数，且，则的最大值为_考点：柯西不等式答案：试题解析：由柯西不等式可得：所以，故答案为：42.设x, y, zR, 且满足: x2+y2+z2=1, x+2y+3z=, 则x+y+z=.考点：柯西不等式答案：试题解析：由柯西不等式有(x2+y2+z2) (12+22+32) (x+2y+3z) 2, 等号当且仅当xyz=123时成立, 所以x+y+z=6x, 又=x+2y+3z=14x, 故x=, 从而x+y+z=.43.已知a, b, m, n均为正数, 且ab1, mn2, 则(ambn)(bman)的最小值为_.考点：柯西不等式答案：2试题解析：由柯西不等式可得44.设，且满足：，则_考点：柯西不等式答案：试题解析：由柯西不等式，所以，又题目中，故，又，即，所以。45.已知则的最小值为_.考点：柯西不等式答案：12试题解析：，所以。46.选修4-5：不等式选讲设函数（I）当时，求的最小值；（II）如果对，求实数的取值范围考点：柯西不等式答案：解：（I）根据题意将绝对值符号去掉得分段函数： .3分作出函数的图象如图，由图象可知，函数的最小值为3 .6分（II）对，对一切实数恒成立.8分，或，的取值范围为. 10分试题解析：47.观察下列式子, .则可