玛丽莲问题趣解.doc

玛丽莲问题(Monty Hall problem)问题：你参加电视台的一个抽奖节目。台上有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？ 这道题目的标准答案是换选二号门。（一）条件概率：全概率和贝叶斯公式解游戏开始，设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率，则P(A)=P(B)=P(C)=1/3假定：游戏者任选了一道门A，而主持人（HOST）打开一道后面是羊的门，事实上有两种情况。1 主持人了解所有门后面的东东，他一定要打开一扇“羊”门如果车在A门后面，主持人有B、C两种选择，打开C门（“羊”门）的概率为P(Host opens C|A) = 1/2如果车在B门后面，主持人没有选择，只能打开C门P(Host opens C|B) = 1如果车在C门后面，主持人一样没得选择，绝对不能开C门P(Host opens C|C) = 0所以，主持人打开C门的概率为P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)= 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2根据贝叶斯公式，在主持人打开C门的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)= (1/6) / (1/2)= 1/3P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)= (1/3) / (1/2)= 2/3这就是为什么要换二号门的原因。2 主持人和游戏者一样蒙在鼓里，他是碰巧打开一扇“羊”门，那么如果车在A门后面，主持人有B、C两种选择，打开C门的概率为P(Host opens C|A) = 1/2如果车在B门后面，主持人一样有B、C两种选择，打开C门的概率还是P(Host opens C|B) = 1/2如果车在C门后面，主持人还是有B、C两种选择，只是打开C门不可能看到羊P(Host opens C|C) = 0所以，主持人打开C门见到羊的概率为P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)= 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3根据贝叶斯公式，在主持人打开C门见到羊的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)= (1/6) / (1/3)= 1/2P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)= (1/6) / (1/3)= 1/2在这种情况下，用一个简单的条件概率式P(A|C.sheep)一样可以得出1/2的结果。这就是“不换”的原因。遗憾的是，从游戏的设置来看，主持人不知情的可能性很小。（二） 另一种思路，玛丽莲问题的拓展在三道门的玛丽莲问题中，对游戏者的策略进行观察，他要赢得汽车，可以通过如下途径：1第一次选错，主持人打开一道门之后换选第一次选错的概率为2/3，然后，换选选对的概率为100%，就是说，第一次选择之后再换选，得奖得概率为2/3*100%=2/32第一次选对，主持人打开一道门之后不换。第一次选对的概率为1/3，不换则得奖率100%。1/3*100%=1/3就是“不换”策略的胜算。这个方法可以推广到三道门以上的玛丽莲问题拓展，譬如，在四道门的游戏里，主持人依次打开两扇“羊门”，每一次游戏者都有权选择“换”或者“不换”。游戏共有三个步骤，步骤一是“初选”，在步骤二和步骤三，分别有“不换不换”、“不换换”、“换不换”和“换换”四种策略组合，中奖可能分别为：1/43/4(3/4)*(1/2)=3/81/4（换两次之后换回初选的得奖率）+(3/4)*(1/2)(换两次之后不换回初选)=5/8可见