一般经济均衡的数学理论与应用.doc

本科毕业论文 设计 模板本科毕业论文 设计 模板 本科学年论文 论文题目论文题目 一般经济均衡的数学理论与应用 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 班 级 0901 班 指导教师 完成日期 2011 年年 10 月月 22 日日 一般经济均衡的数学理论与应用 内容摘要 所有市场能否同时实现均衡一直以来是经济市场中一个重要的问题 19 世纪末期 以 Walras 和 Pareto 为代表的的经济学家创立了数理经济学派 提出了一般经济均衡学说的构想 一般经济 均衡理论是对市场经济中均衡配置的定性分析理论 是有生产经济联系不同的市场结构提出的是 整个数理经济学的逻辑基础和框架 Arrow 和 Debreu 在 1954 年对其进行了严格的数学证明 形 成了 Arrow Debreu 模型 鉴此 本文对 Walras 模型和的 Arrow Debreu 模型的数学依据展开了一 系列的讨论 可计算的一般均衡 Computable General Equilibrium CGE 模型是基于一般均衡理论产生 的 其作为政策分析的有力工具 发展成为应用经济学的一个分支 它所分析的基本经济单元是 生产者 消费者 政府和外国经济 然后对该模型进行了具体分析 关键词 经济均衡 Walras 模型 均衡配置 Arrow Debreu 模型 CGE 0 目录 序言 1 一 一般均衡理论 1 一 局部均衡与一般均衡的含义 1 二 分析一般均衡的必要性 1 三 一般均衡的表示方法 1 1 假定 1 2 一般均衡的表示方式一 2 3 一般均衡的表示方法二 2 二 WALRAS 法则 2 一 WALRAS 法则的含义 3 二 WALRAS 法则的证明 3 三 WALRAS 法则的推论 3 三 ARROW DEBREU 的一般均衡模型 4 一 ARROW DEBREU 模型的假设 4 二 ARROW DEBREU 均衡定理 4 四 一般均衡的计算举例 4 五 一般经济均衡在实际中应用 CGE 模型 6 一 CGE 模型概述 6 二 CGE 模型的结构 6 三 CGE 模型的局限性 7 六 总结 7 参考文献 8 0 序言 任何的经济社会都是由许许多多的消费者 生产者和许多种商品构成的 消费者与生产者通 过各种市场来参与经济活动 局部均衡理论仅仅孤立地讨论了单个市场上的经济活动及其结果 然而由于商品之间替代与互补关系的存在 都处于与其他市场的相互联系和相互影响之中 这种 情况下 所有市场能否同时实现均衡便成为一个基本重要的问题 19 世纪末期 以 Walras 和 Pareto 为代表的的经济学家创立了数理经济学派 提出了一般经 济均衡学说的构想 一般经济均衡理论是对市场经济中均衡配置的定性分析理论 是有生产经济 联系不同的市场结构提出的是整个数理经济学的逻辑基础和框架 Arrow 和 Debreu 在 1954 年对 其进行了严格的数学证明 形成了 Arrow Debreu 模型 一般经济均衡理论的提出对所有市场能否同时实现均衡给出了有效地理论依据 本文就是对 一般均衡问题做出的数学假设及证明 以及实际应用 CGE 模型 一 一般均衡理论 一 局部均衡与一般均衡的含义 局部均衡是指单个经济主体的均衡与单个市场的均衡 所有市场同时均衡叫做一般均衡 1 微观经济学中 对均衡的分析分三个高低不同的层次进行 单个经济主体的均衡 单个市场的均 衡与所有市场的同时均衡 前两种均衡叫做局部均衡 最后一种均衡叫做一般均衡 二 分析一般均衡的必要性 1 在局部均衡分析中 产品与要素的价格没有真正被决定 在局部均衡分析中 假定各种产品与要素价格的决定是彼此独立的 相互之间没有联系 实 际上各种产品与要素的价格的变动相互影响 任何一种产品或要素的价格都不能独立决定 2 任何一种产品与要素的价格 只有在所有其它产品与要素的价格都被决定时 均衡时 才 能真正被决定 因此 为了真正说明产品与要素价格的决定 在分析局部均衡以后 还要进行一般均衡分析 三 一般均衡的表示方法 1 假定 设经济体系只有与两位经济主体 消费和两种商品 初始拥有的商品量 禀赋 ABXYA 1 和分别为 初始拥有的商品量和为 为对 X 商XY A X A Y BXY B X A Y YX A X PPd A 品的需求函数 为对 X 商品的需求函数 并用类似的方式定义和对商品的 YX B X PPd BABY 需求函数 2 一般均衡的表示方式一 每一种商品的总需求和其总供给都相等 可以将一般均衡描述为这样一组价格 使得每一种商品的总需求和其总供给都相 YX PP 等 即 1 YX A X PPd YX B X PPd A X B X 2 YX A Y PPd YX B Y PPd A Y B Y 将 1 式和 2 式等号右边的项目移到左边 可得 3 Yx A X PPd A X YX B X PPd B X 0 4 YX A Y PPd A Y YX B Y PPd B Y 0 3 一般均衡的表示方法二 两种商品的总超额需求都等于零 3 式和 4 式表明 在两种商品市场都均衡时 与对每种商品的超额需求 实际需AB 求与禀赋的差额 的总和为 0 也可以用总超额需求函数来描绘这种均衡状态 设 YX A X PPe YX A X PPd A X 表示对商品的超额需求函数 并用同样的方法表示对商品的超额需求函数 AXBX YX B X PPe YX B X PPd B X 将和对商品的超额需求相加 可得商品的总超额需求 ABXX YXX PPZ YX A X PPe YX B X PPe YX A X PPd YX B X PPd A X B X 也可以用同样的方法表示商品的总超额需求 Y YXY PPZ YX A Y PPe YX B Y PPe YX A Y PPd YX B Y PPd A Y B Y 显然 在和两种商品市场同时均衡时 两种商品的总超额需求都等于零XY 0 YXX PPZ 0 YXY PPZ 二 Walras 法则 一般均衡分析的内容包含四个方面 即证明一般均衡的存在性 唯一性 稳定性和有效性 2 法国经济学家瓦尔拉斯 Walras Marie Esprit L on 1834 1910 洛桑学派的创始人 最早分 析了一般均衡 纯粹政治经济学要义 1874 和 1877 年分两卷出版 的存在性 他认为在一般均 衡模型中 由于独立的方程式的数量 供求 与未知数的数量 价格 相等 经济体系中存在一 组价格 这组价格正好使各种商品与要素的供求相等 所有市场同时出清 经济处于一般均衡状 态 2 一 Walras 法则的含义 Walras 认为 对于任何可能的价格 不仅仅是均衡价格 所有商品的总超额需求的值恒等 于零 在只有两种商品的经济中 瓦尔拉斯法则可以表示为 3 YXXX PPZP 0 YXYY PPZP 二 Walras 法则的证明 4 只要将两个交易者的预算约束相加 便能证明这个结论 先考察交易者 他对所有商品的A 需求总和应该等于其预算约束 任何经济主体都是通过出售商品来购买商品 即 YX A XX PPdP A YY A XXYX A YY PPPPdP 或者 5 X P YX A X PPd A X Y P YX A Y PPd A Y 0 6 YX A XX PPeP 0 YX A YY PPeP 6 式表明 交易者对两种商品的超额需求的价值的总和为零 意味着任何交易者只有卖A 出一定量的某种商品 才能买进一定量的另一种商品 同理 对于交易者来说 也有同样的方程式 B 7 X P YX B X PPd B X Y P YX B Y PPd B Y 0 8 YX B XX PPeP 0 YX B YY PPeP 根据 5 式 6 式 7 式和 8 式 并利用两种商品的总超额需求的定义 可得 X P YX A X PPe YX B X PPe Y P YX A Y PPe YX B Y PPe 0 X P YXX PPZ Y P0 YXY PPZ 现在可以看清 Walras 法则之所以成立的原因了 由于每个交易者对各种商品的超额需求值的 总和为零 所以 所有交易者的对各种商品的超额需求值的总和也为零 三 Walras 法则的推论 既然 Walras 法则对所有价格都适用 那么 它也适用于对和的总超额需求值为零的一XY 组价格 即适用于均衡价格 9 X P YXX PPZ Y P0 YXY PPZ 在均衡时 设 X 商品的超额需求等于零 10 0 YXX PPZ 根据 9 式和 10 式 如果 则一定有 0 Y P 0 YXY PPZ 因此 在只有两种商品的经济中 如果有一组价格 使得商品的需求与供给相 YX PP X 3 等 那么 商品的需求与供给也一定相等 当然 也可以说 如果有一组价格 使Y YX PP 得商品的需求与供给相等 那么 商品的需求与供给也一定相等 YX 三 Arrow Debreu 的一般均衡模型 一 Arrow Debreu 模型的假设 Arrow 和 Debreu 运用博弈论思想重新构建了瓦尔拉一般经济均衡理论大厦 给出了令人 5 满意的一般均衡存在性证明 他们假定 经济中共有个消费者 个生产者 种商品 mn 经济资源为消费者私有 消费者 的消费集合为 偏好关系为 拥有的资源向量为i i X i 即 刻画了消费者 i e iii Xe i 消费者向生产者提供资源获得收入 同时还从生产者那里获得利润分红 生产者除了向 要素支付报酬外 还将利润全部分配给消费者 注意 生产者也是消费者 假定消费 者 从生产者那里享受到的利润分成比例为 j 1 2 n ij ij 1 1 m ij i 生产者j的生产集合为 即刻画了生产者j j Y j Y 在上述假设下 经济系统可表述为 经济状态 是指经济运行 iiiijjm n XeY 可达的状态 可用商品空间中的向量组 来表示 消费者 选择了R x y 11 mn xxyy i 消费向量 生产者选择了净产出向量 1 2 i x im j 1 2 i yjn 二 Arrow Debreu 均衡定理 定理 1 Arrow Debreu 1954 设经济满足 6 iiijij EXeY 对于消费者 1 消费集合 为闭凸集合 且关于 有下界 2 具有非饱和性 3 偏好 i X 满足连续性和凸性假设 4 存在 使得 0 ii xX 0 ii xe 对于生产者 5 6 社会总生产集合 是闭凸集合 7 0 j Y 1 n j j YY 0 YY 8 则经济 E 存在一个均衡 N YR 定理 2 Debreu 1956 设是非空紧凸值的上半连续的对应 并且满足 N Z PR 0p z 则存在和使得 pP zZ p pP zZ p 0z 四 一般均衡的计算举例 设消费者的柯布 道格拉斯效用函数为 A 7 1 AAA YXTU 11 消费者也有相似的表达式 B 12 1 BBB YXTU 4 根据消费者均衡条件和预算约束 从 11 式和 12 式可分别导出 两位消费者对商AB 品和的需求函数 XY X A AYX A X P m mPPd Y A AYX A Y P m mPPd 1 X B AYX B X P m mPPd Y B AYX B Y P m mPPd 1 每个人的收入由其禀赋的价值决定 即 A YY A XXA PPm B YY B XXB PPm 两种商品的超额总需求为 13 B X A X X B YY B XX X A YY A XX B X A X X B X A YXX P PP P PP P m P m PPZ 14 B Y A Y Y B YY B XX Y A YY A XX B Y A Y Y B Y A YXY P PP P PP P m P m PPZ 1 1 1 1 下面证实这些总需求函数满足瓦尔拉斯法则 设 13 式和 14 式变为 1 Y P 15 B X A X X B Y B XX X A Y A XX XX P P P P PZ 1 16 B Y A Y B Y B XX A Y A XXXY PPPZ 1 1 1 15 式和 16 式表示对和的超额需求都是 X 商品的相对价格的函数 为求得均XY X P 衡价格 可以设 15 式或 16 式等于零 最后可以得到 X 商品的均衡价格 B X A X B Y A Y X P 1 1 5 五 一般经济均衡在实际中应用 CGE 模型 一 CGE 模型概述 可计算的一般均衡 Computable General Equilibrium CGE 模型作为政策分析的有力工 8 具 经过 30 多年的发展 已在世界上得到了广泛的应用 并逐渐发展成为应用经济学的一个分支 世界上第一个 CGE 模型应是约翰森 Johansen 1960 年提出的 在此之后 CGE 模型的发展似乎 出现了一段时间的中断 直到 70 年代都没有显著进步 在 70 年代 有两个因素引起了人们对 CGE 模型的兴趣 1 世界经济面对着诸如能源价格或国际货币系统的突变 实际工资率的迅速提高等较大的冲 击 2 促使近 20 年来 CGE 模型的应用不断扩大的因素是其细化处理的能力日益提高 二 CGE 模型的结构 它所分析的基本经济单元是生产者 消费者 政府和外国经济 1 生产行为 在 CGE 中 生产者力求在生产条件和资源约束之下实现其利润优化 这是一种次优解 Sub optimal 与生产者相关的有两类方程 一类是描述性方程 例如生产者的生产过程 中间生产 过程等 另一类是优化条件方程 在许多 CGE 模型中 假设生产者行为可以用科布 道格拉斯 或常替代弹性 CES 方程来描述 2 消费行为 也包括了描述性方程和优化方程 消费者优化问题的实质是在预算约束条件下选择商品 包 括服务 投资以及休闲 的最夹组合以实现尽可能高的效益 3 政府行为 一般来说 政府的作用首先是制定有关政策 在 CEG 中通常将这作为政府变量 同时 政府 也是消费者 政府的收入来自税和费 政府开支包括各项公共事业 转移支付与政策性补贴 4 外贸 在 CGE 中 通常按照常弹性转换方程 CET 来描述为了优化出口产品利润 把国内产品在国 内市场和出口之间进行优化分配的过程 或用阿明顿 Armington 方程来描述为了实现最低成本 把进口产品与国内产品进行优化组合的过程 5 市场均衡 CGE 的市场均衡及预算均衡包括如下几方面 1 产品市场均衡 产品均衡不仅要求在数量上 而且要求在价值上 2 要素市场均衡 主要是劳动力市场均衡 假定劳动力无条件迁移 不存在迁移的制度障碍 3 资本市场均衡 投资 储蓄 6 4 政府预算均衡 政府收入 政府开支 预算赤字 5 居民收支平衡 居民收入的来源是工资及存款利息 居民收支平衡意味着 居民收入 支 出 节余 6 国际市场均衡 外贸出超 CGE 中表现为外国资本流入 外贸入超表现为本国资本流出 CGE 模型的应用领域 CGE 模型经常被用来分析税收 公共消费变动 关税和其他外贸政策 技术变动 环境政策 工资调整 探明新的矿产资源储量和开采能力的变动等对国家或地区 国内或跨国的 福利 产 业结构 劳动市场 环境状况 收入分配的影响 CGE 模型最重要的成功在于它在经济的各个组成部分之间建立起了数量联系 使我们能够考 察来自经济某一部分的扰动对经济另一部分的影响 对于投入产出模型来讲 它所强调的是产业 的投入产出联系或关联效应 而 CGE 模型则在整个经济约束范围内把各经济部门和产业联系起来 从而超越了投入产出模型 这些约束包括 对于政府预算赤字规模的约束 对于贸易逆差的约束 对于劳动 资本和土地的约束 以及处于环境考虑 如空气和水的质量 的约束等 三 CGE 模型的局限性 9 1 在分析政策变动对福利影响方面也仅获得了部分成功 因为它假定了政策变化不影响劳动 力的非 7 失业和资本的水平 企业间竞争的形式和技术进步率 2 CGE 模型本身并不能提供有价值的预测工具 3 CGE 模型需要的数据甚至比投入产出分析要远为复杂而难以找到 因为它不仅分析产业或 工业 也分析个人 政府决策 这些都是投入产出分析力所不能及的 六 总结 一般均衡是一个经济体系中所有商品