素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0209.doc

2002年第 9期数学通报 数学问题解答 2002年 8月号问题解答 a 2 (c-c)( b2 -cc) (解答由问题提供人给出 ) 所以 (c-c) + (b+c) 2 (b+ c) 2 = 0 ,1386试证明 :有两边及一个角的角平分线对应0 ,相等的两个三角形全等 . 所以 (b+ c) 2 (b+ c(b+ c) 2 b2 a 2 b2 ,(443003)所以 (b+ c) 2 (b+ c-a 2 b2 +a 2 cc 0.可得 c-c= 0 ,c = c,为 a、b、 、则 AB C ABC.tb、tc和 ta 、 .注 :由此命题可知 ,如果两个三角形有两边对当有两边及它们的夹角的平分线对应相等应相等 ,再加上任一条中线或一条角平分线对应所以 (c-c)( b + c) 2 (b + c-a 2 b2 +a2 cc = 时 ,不妨设 b=b,c = c,ta = ta .相等 ,则两三角形必全等 ,而加上任一条高对应相2 等则不然 . 由 ta = b+c bcp (p-a), 1387设 Ia是 ABC顶点 A所对的旁切圆圆心 ,ta = 2 bcp(p-a)得 : 点 D、E、F是该旁切圆与 BC、CA、AB的切点 ,过 b+c A点引 BC的平行线与 ED、FD的延长线分别交于 2 2 b+c bcp (p-a) =b+c bcp(p-a)M、N,设 P、Q分别是 DM、DN的中点 .证明 :A、 所以 p(p-a) =p(p-a),E、F、Ia、P和 Q共圆 . 所以 (b+c+ a)( b+c -a) (安徽师范大学数学系郭要红 241000)= (b+c+ a)( b+c -a),证明如图 ,由题设可得 a=a,则 ABC ABC.条件知 , NA F、MA E分当有两边及其中一边的对角的角平分线对应别与等腰三角形 DB F、 相等时 ,不妨设 a=a,b = b,ta = ta .有DCE相似 ,AE = AF,A点是线段 MN的中点 ,因为 2 b+c+ a b+c -a b+c bc 2 2 P是线段 DM的中点 ,所以 AP FDN ,因此 , APM = FDE ,延长 AIa交= 2 bc b+c+a b+c-a,旁切圆于 K,又 FDE = EIa K,所以 EIaA = b+c 22 两边平方得 : EPA ,所以 ,A、P、Ia、E四点共圆 .c(b+ c) 2 -ca 2 c(b+ c) 2 -ca 2 同理可得 ,A、F、Ia、Q四点共圆 .(b+ c) 2 = (b+c) 2 ,注意到 A、F、Ia、E四点共圆 ,所以 ,A、E、F、 所以 c-ca 2 =c-ca 2 Ia、P和 Q共圆 . 移项得 : (b+ c) 2 (b+ c) 2 .1388已知 :x 0 ,y 0 ,且 x+y = 1.求证 : 1 14+ (1)x+ yc c 1 +x 1 +y -(c-c) +a 2 ) 2 c) 2 所以 (c-c) +(b+c(b+ = 0 ,(黑龙江省农业经济学校邢进喜c(b2 + 2 bc+ c2) -c(b2 + 2 bc+c2) 157041)a = 证明由已知得 0 ,(b+c) 2 (b+ c(1)式 ) 2 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2002年第 9期数学通报48 3 216 -1的实数 ,求 | x|+| y|+| z|的最小值. + 1 + 2 xy 2 + xy 2 + xy 3 (江西南昌大学附中宋庆330029) (1 + u) 3 + 1 4 解由题设知 x,y,z中有一个负数、两个正28 +u 8 +u 23数 ,故不妨设 x 0 ,z 0 ,于是 , 其中 (u = 2 xy) |x|+| y|+| z| =-x+y+z =-2 x.22 3 (1 + u) 8 +u 4 u-9 u+ 23 所以 -x = y+z 2 = 2 1 x ,(1 + u) 2 +(8 +u 2) 4 u-9 u+ 23 x) 3 49 2 u 2 -18 u+ 17 0 x (u -1)( u -17) 0 x|+| y|+| z| 2 4 , x + y. u 1 2 1 式中等号当 y = z =-2 x ,x =1389设实常数 a使得关于 x的不等式 1 +x 即 x =-4 ,y = z = 2时成立.x a -1有非零实数解 ,证明 :a 所以 | x|+| y|+| z|的最小值为 2 4. 10 5 -22 2 . 2002年 9月号问题 (浙江慈溪实验中学华漫天315300)(来稿请注明出处 编者) 证明令 t= x,则 x=t2 ,显然 t 11391已知实数 a,b,c满足 | b-c| 3 | a| , 则 1 x |c-a| 3 | b| ,| a-b| 3 | c| ,1 +x a -1 求证 :a+b+c = 0 1 at (南昌大学附中宋庆330029) 1 +t 2 99-1 1 a 2 t2 1392数列 an中 ,an= n 3 (n 2 -i2) 2 ,求该i= 1 1 t + t -11 t-12数列的前 n项和 Sn. 1 +t t2 a(江苏省江阴市绿园新村 40幢 405室设 f(t) = t-1 1 徐世震214400) 2 ,1 +t t1393求函数 y=x 4 -12 x 3 + 68 x 2 -192 x+ 832 则 f(t) =-2 (t2 -t 2-) 1).(x R)的最小值. t3 (1 +t(湖南省沙市明德中学陈世明410008) 1 5令 f(t) = 0 ,得 t= 2 ,由于 t 1 ,1394正方形 A1 A2 A3 A4的中心为 0 , O在正方形内部或与正方形相内切 ,P为O上任一点 ,P故 t= 1 + 25 ,同时当 1 t 0.d3 ,d4 ,则 d13 +d32 +d33 +d34对于给定的 O而言当 t 1 + 25 时 ,f(t) 0 ,故 f ( t)在区间 是定值. (江苏如皋市教师进修学校徐道1 + = 55 -11 ,故 a 226500)(1 ,+ )内有最大值 f 2 2 1395设 n为任意正整数 ,求 10 n+ 5 n除以 6的余 10 5 -22 . 数 ,并证明自己的结论. 2 1390已知 x,