1.3不共线三点确定二次函数的表达式

素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣复习导入(1)回顾1：求一次函数表达式的方法是_待定系数法_(2)回顾2：二次函数的表达式有如下几种形式：一般式：_yax2bxc(a，b，c为常数，a0)_；顶点式：_ya(xh)2k(a，h，k为常数，a0)_(3)已知二次函数的图象过(1，0)，(1，4)和(0，3)三点，你能求出这个二次函数的表达式吗？说明与建议 说明：通过回顾一次函数表达式的求法，加强新旧知识的联系和延伸，强化模型化思想，为本节求二次函数表达式做准备建议：提出问题“二次函数的一般形式中有几个待定字母？求这些字母需要几个独立的条件？”然后再探究如何用待定系数法求二次函数的表达式悬念激趣如图131，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图131说明与建议 说明：假设不同的建立平面直角坐标系的方案，寻求求二次函数表达式的最佳方法建议：引导学生从以下几个角度归纳总结求二次函数表达式的方法：(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式yax2bxc；(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式ya(xh)2k；(3)当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式ya(xx1)(xx2)素材二教材母题挖掘教材母题第23页练习已知二次函数yax2bxc的图象经过三点A(0，2)，B(1，3)，C(1，1)，求这个二次函数的表达式【模型建立】已知抛物线的三点，用一般式yax2bxc，再用待定系数法求二次函数的表达式一般步骤是先设二次函数的表达式为yax2bxc，再把已知点的坐标代入表达式得关于a，b，c的三元一次方程组，解这个方程组，即可得到表达式【变式变形】1如图132，抛物线的表达式是_yx2x2_图1322大港一模 已知二次函数yx2bxc中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x101234y1052125则该二次函数的表达式为_yx24x5_3已知二次函数yax2bxc，当x1和x3时，y的值都是0，当x0时，y3，则这个二次函数的表达式是_yx22x3_4如图133，已知二次函数yx2bxc的图象经过A(2，0)，B(0，6)两点图133(1)求这个二次函数的表达式；(2)设该二次函数的图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC的面积解：(1)把A(2，0)，B(0，6)代入yx2bxc，得解得这个二次函数的表达式为yx24x6.(2)该抛物线的对称轴为直线x4，点C的坐标为(4，0)，ACOCOA422，SABCACOB266.素材三考情考向分析命题角度1 用一般式yax2bxc(a，b，c为常数，a0)求二次函数的表达式已知抛物线上任意三点，可选用一般式求二次函数的表达式，进而可用配方法或顶点公式求出抛物线的顶点坐标、对称轴以及开口方向，如教材P23习题1.3A组第1，2题命题角度2 用顶点式ya(xh)2k(a，h，k为常数，a0)求二次函数的表达式已知抛物线的顶点或对称轴，可选用顶点式ya(xh)2k(a，h，k为常数，a0)，如教材P37复习题1A组第4题命题角度3 用交点式求二次函数的表达式已知抛物线与x轴的两个交点的坐标(x1，0)，(x2，0)和另一个点的坐标(m，n)，通常设二次函数的表达式为ya(xx1)(xx2)，再将点(m，n)代入得到关于a的一元一次方程，求出a的值，即可得到二次函数的表达式，如教材P23习题1.3 A组第3题素材四教材习题答案P23练习已知二次函数yax2bxc的图像经过三点A(0，2)，B(1，3)，C(1，1)，求这个二次函数的表达式解：将点A(0，2)，B(1，3)，C(1，1)代入，得解得yx22x2.P23习题1.31已知二次函数yax2bxc的图像经过三点A(1，0)，B(0，2)，C(2，0)，求这个二次函数的表达式解：将点A(1，0)，B(0，2)，C(2，0)代入，得解得yx2x2.2已知二次函数yax2bxc中的部分自变量x与所对应的函数值y如下表：x432y353求当x1时，y的函数值解：(解法一)将点(4，3)，(3，5)，(2，3)代入，得解得y2x212x13.当x1时，y212121132121327.(解法二)由表可知，该二次函数的顶点坐标为(3，5)，可设ya(x3)25，将(4，3)代入，得3a(43)25，解得a2，y2(x3)25，即y2x212x13.当x1时，y212121132121327.3已知二次函数的图像与x轴的交点的横坐标分别是x13，x21，且与y轴的交点为(0，2)，求这个二次函数的表达式解：设二次函数的表达式为ya(x3)(x1)，将(0，2)代入，得2a(03)(01)，解得a，y(x3)(x1)4已知二次函数的图像经过一次函数yx3的图像与x轴、y轴的交点，且过点(1，1)，求这个二次函数的表达式解：一次函数yx3的图像与x轴的交点为(3，0)，与y轴的交点为(0，3)，设二次函数的表达式为yax2bxc，将(3，0)，(0，3)，(1，1)代入，得解得yx2x3.5已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图像经过这三个点？(1)P(1，6)，Q(2，11)，R(1，14)；(2)P(1，6)，Q(2，11)，M(1，4)解：(1)假设存在这样的二次函数yax2bxc，它的图像经过点P，Q，R，则得关于a，b，c的三元一次方程组解得二次函数y3x24x7的图像经过点P，Q，R.(2)假设存在这样的二次函数yax2bxc的图像经过点P，Q，R，则得关于a，b，c的三元一次方程组解得一次函数y5x1的图像经过点P，Q，R三点，这说明没有一个这样的二次函数，它的图像经过点P，Q，R.素材五图书增值练习专题一 二次函数的三种表达方式1. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：-1012341052125（1）求该二次函数的关系式；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？2（1）你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么?（2）完成下表：边上的小圆圈数12345小圆圈的总数（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?3美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来；（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式；（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？4张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图（a）然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图（b），中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为y，宽为x，且yx（1）请你求出图（a）中y与x的函数关系式；（2）求出图（b）中y与x的函数关系式；（3）在图（c）中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；（4）根据以上讨论完成下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼出类似图（a）和图（b）的图形？说出你的理由图（b）中的小正方形边长1234x6y10状元笔记：【知识要点】用三种方式表示二次函数【温馨提示】运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，为解决函数类实际问题打下坚实的基础.要求学生能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题.参考答案1解：（1）把（0，5），（1，2）代入，得b=4，c=5，所以y=x24x+5.（2）当x=2时，y的最小值为1.2解：（1）第1个图形中有1个小圆圈，第2个图形中有1+6=7（个）小圆圈，第3个图形中有7+26=19（个）小圆圈，第4个图形中有19+3637（个）小圆圈. （2）从左至右填1，7，19，37，61. （3）m6+13n23n+13解：（1）（2）各点在一个二次函数的图象上，函数的表达式为.（3）当n=56时，S=56256=1540（次）.4解：（1）由图（a）得3y5x ， y.（2）由图（b）得8xy1(2xy)2，整理得 (2xy)21，2xy1. y，2x1， x3