量子力学习题选解.doc

一选择题1.一个空腔可以看作黑体。实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置 A.只与绝对温度有关 B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关 D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量 A.只与光强有关，与光的频率无关 B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关 D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的射线被轻元素中的电子散射后，波长 A.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小 D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是 A.定域的波包 B.疏密波C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是 A. B. C. D.6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A. B.15C.10 D.1507.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为C.和（是常数）描写的是同一个状态D.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，表示 A.在方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳中找到粒子的几率C.在点找到粒子的几率D.在点附近，体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是A. B. C. D. 11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比C.和粒子质量成正比 D.随量子数增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量A.增大为原来的四倍 B.增大为原来的两倍C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为，若令，则波函数形如，其中满足为使时，有限，则值为A.整数 B.奇数 C.偶数 D.零14.设体系处于的状态，式中、是常数，则在此状态下，测量力学量和，下列结论中正确的是A. 测量有确定值，测量也有确定值B. 测量有确定值，测量没有确定值C. 测量和都没有确定值D. 测量没有确定值，测量有确定值15. 若、是厄密算符，则下列结论中正确的是A. 仍然是厄密算符 B. 仍然是厄密算符C. 是对易的 D. 、的本征函数是实函数 16.一质量为的粒子禁闭在边长为的立方体内，粒子的能量， 、=1，2，3， 则第一激发态能量A.不简并 B.二重简并 C.三重简并 D.四重简并17.一维谐振子处于，其中、为实常数，为谐振子的第个归一化本征函数，则A. B. C. D.18. 球谐函数，其中是A.贝塞尔函数 B. 缔合勒盖尔函数 C.缔合勒让德函数 D.拉格朗日函数19.关于球谐函数和的奇偶性，下列说法正确的是A. 、都是奇函数 B. 、都是偶函数C. 是奇函数，是偶函数 D. 是奇函数，是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是其中A.构成连续谱，构成分立谱 B.构成连续谱，构成分立谱C.构成连续谱，构成分立谱 D.构成连续谱，构成分立谱21.氢原子的径向波函数中的是A.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A. B. C. D.23.氢原子核外电子的角分布（即径向附近立体角内找到粒子的几率）A.与有关 B.与有关，与无关C.与有关，与无关 D.与、皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。下列关于厄密矩阵的定义正确的是A. B. C. D.25.下列表述正确的是A.算符在其自身表象中是厄密矩阵B.幺正变换改变算符的本征值C.幺正变换改变矩阵的迹D.解定态薛定谔方程求能级的问题可看成是由表象变换到能量表象26.由一个表象到另一个表象的变换是幺正变换，幺正矩阵满足A. B. C. D.27以表示算符在表象中的矩阵，以表示在表象中的矩阵，变换矩阵将力学量在表象中的表示变换为表象中的表示，那么，下列表达式中正确的是A. B. C. D. 28.对于定态微扰论，下列说法正确的是A.非简并情况下，定态微扰论仅取决于微扰矩阵元的大小B.非简并情况下，能量的一级修正是微扰在零级波函数下的平均值C.重简并情况下，能量一级微扰可以使重简并完全消除D.简并情况下，零级能量确定后，对应的零级波函数是唯一的29.原子由态跃迁到态的辐射强度正比于A. B. C. D.30. 原子由态跃迁到态的辐射强度正比于A. B. C. D. 31.爱因斯坦几率系数正比于A. B. C. D.32偶极跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则是A. B. C. 不限， D. ，不限33.下列表述正确的是A. 两电子自旋反平行的能级是三重简并的B. 自旋为奇数倍的粒子称为玻色子C. 描写全同粒子状态的波函数一定是对称的D. 描写全同粒子状态的波函数的对称性不随时间改变34下列表述正确的是A.交换全同粒子体系中任何一对粒子，不引起物理状态的改变B.全同粒子体系的波函数一定可以写成空间部分和自旋部分之积C.全同粒子体系的波函数对于任何两粒子的交换都是对称的D.全同粒子体系的波函数自旋部分，总能写成对称的形式或反对称的形式35.关于氦原子，下列表述正确的是A.处于三重态的氦称为仲氦B.氦原子的基态是单态C.仲氦的波函数是对称的波函数D.用微扰法求能级时，以两电子的自旋相互作用作为微扰36. 关于氦原子，下列表述正确的是A.处于三重态的氦称为正氦B.氦原子的基态是三重态C.仲氦的波函数是对称的波函数D.用微扰法求能级时，以两电子的自旋相互作用作为微扰37.若电子处在态，电子的总角动量的取值有A.一个 B.两个 C.三个 D.四个38.一种复合粒子有个费米子和个玻色子组成，这种复合粒子是玻色子的条件是A. 是偶数 B. 是偶数 C. 是奇数 D. 是奇数39.两个自旋为的全同粒子组成一个体系，体系对称的自旋波函数个数为A. 一个 B. 两个 C. 三个 D.四个40.一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用，玻色子只有两个可能的单粒子态，则体系可能的状态个数为A. 一个 B. 两个 C. 三个 D.四个二填空题1.德布罗意关系是2.自由粒子的动能为，质量为，粒子的速度远小于光速，则此粒子的德布罗意波长为3.自由粒子的波函数用平面波表示。或填4. 描写波函数随时间变化的方程，除是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程外，还应满足两个条件：一是方程是线性的，二是方程的系数不应包含状态参量。5.能量最低的状态称为基态。6透射波几率密度与入射波几率流密度之比成为透射系数。7如果波函数和满足，则称和相互正交。8要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集合。 9三维空间中运动的一个粒子，在考虑自旋的情况下，完全确定其状态，力学量完全集合中的力学量的数目为4。10公式用狄喇克符号表示为11氢原子在外电场下所产生的谱线分裂的现象，称为氢原子的斯塔克效应。12爱因斯坦自发发射系数表示原子在单位时间内由能级自发跃迁到能级的几率。13若是角动量，它应满足角动量的一般对易关系1415 16在的本征态中，和的测不准关系为17若，则以为基矢的表象称为无耦合表象18我们称质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。19中子组成的全同粒子体系服从费密狄喇克统计。20用微扰法处理氦原子问题时，能量一级修正为，其中称为库仑能。三证明题1证明厄密算符的本征值是实数。证：以表示的本征值，表示所属的本征函数。 2证明厄密算符属于不同本征值的本征函数正交。证：设，（）， 是厄密算符，即 3对于一维运动，设有两个波函数及是对应于同一能量的解，证明常数。证： 即 积分得常数（与无关） 4证明一维束缚定态都是非简并的。5一维定态问题中，若势能关于原点对称，则波函数有确定的宇称。证： 定态波函数满足，因此是属于本征值的本征函数，由于一维束缚定态是非简并的，和代表同一状态：令： 取 6证明。证：是任意函数， 7定义，证明证：同理 8定义，证明证： 9设，而，证明是的本征函数，本征值为；是的本征函数，本征值为。证：10证明费曼海尔曼定理四问答题1如何理解微观粒子的波粒两象性？答：微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。它在某些实验中（如光电效应、康普顿效应）出粒子的特性，在另为一些实验中（如电子衍射）表现出经典波的特性，它是经典粒子和经典波动这一对矛盾的综合体。2波函数应满足什么条件？的物理意义是什么？答：波函数除了应满足平方可积的条件外，它还应该是单值，有限和连续的。表示在时刻附近单位体积中粒子出现的几率。3什么样的状态是束缚态？什么样的状态是简并态？答：当粒子坐标趋于无穷远时，描写粒子状态的波函数趋于零，亦即粒子被势场约束于特定空间区域内，则称粒子所处的状态为束缚态。若一个本征态对应一个以上不同的本征态。则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态。4物理上可观测量在量子力学中用什么算符表示？为什么？答：物理上可观测量在量子力学中用线性厄密算符表示，线性是态迭加原理的要求，厄密算符的本征值是实数，可与观测值相对应。5什么是偶极跃迁？答：当光射到原子上时，光波中的电场和磁场都对原子中的电子有作用，如果略去磁场对原子的作用，并假设光波波长远大于原子线度，在这样的近似下讨论的跃迁称为偶极跃迁。6什么是隧道效应？为什么不能用经典力学解释？答：粒子的能量小于势能高度仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。7什么叫力学量的完全集合？力学量完全集合中的力学量的数目和什么有关？答：要完全确定体系所处的状态，需要一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集合。在完全集合中力学量的数目和体系的自由度的数目相等。8用微扰法求氦原子的能级，微扰项是什么？基态能量是修正结果不够好的原因是什么？答：用微扰法求氦原子的能级，以两电子间的库仑相互作用作为微扰：，基态能量修正结果不太好的原因是微扰项与其他势能项相比并不太小。9用微扰法求氦原子的能级时，为什么会出现交换能？交换能的大小和什么因素有关？答：交换能的出现时由于描写全同粒子的波函数必须是对称或是反对称波函数的缘故。交换能的大小决定于两个波函数的重合程度。10五计算题1已知粒子的波函数，试求：（1）归一化常数；（2）粒子的坐标从到之间的几率解（1） （2） 2 已知做直线运动的粒子处于状态（1）将归一化（2）求出粒子几率最大的坐标解：（1）令，由归一化条件得 取，归一化波函数为 （2）令得 3若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为，势能试求：（1）距势阱左壁宽度内发现粒子的几率是多少？（2）取何值时在此区域内找到粒子的几率最大？解（1）（2），几率为 4.求粒子在下列势阱壁（）处的反射（1）若，求反射系数（2）若，求反射系数解：（1） （1） （2）（1）、（2）联立，消去： （2）若，反射系数 5在时刻，一个一维谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：式中是谐振子的第个能量本征函数（1）求的值；（2）写出时刻的波函数。解（1）因为是归一化波函数，是正交归一的，所以 解得，取（1分）（2）其中。（5分）6若粒子处于状态求：（1）的值；（2）在上分别测量和的可能取值与相应的取值几率。解：（1）由得，取得（2）由于及，可以得到在上测量的可能取值为和，相应的几率分别为和。在上测量的可能取值为和，相应的几率分别为和。7平面转子转动惯量为，处于状态中，求（1）的值；（2）角动量的可能测值及相应的几率；（3）能量的可能测值及相应的几率；（4）求能量的平均值。解：（1）平面转子的波函数和能级分别为， 式中为平面转子的转动惯量。将按展开由此可得， （2）由于与对易，故也是的本征函数，即。角动量的可能测值：、0，相应的几率分别为、0。（3）能量的可能取值：，相应的几率分别为和。（4）8设一体系未受微扰作用时只有两个能级：、，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解： 由题意 9处于一维无限深势阱（中的粒子，受到微扰的作用，计算基态能量的一级修正。可能用到的积分公式： 解：； 10粒子在一维势阱中运动，求其基态能量的一级近似，其中。可能用到的积分公式： 解：；（4分） 11一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿正方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。可能用到的递推公式：解：，波函数一级修正为12一个二维各向同性谐振子，质量为，圆频率为，在加上微扰（为常数）后，求基态和第一激发态能量的一级修正。解：， ，基态，则，非简并。，能量一级修正能量二级修正：所以矩阵元只有第一激发态，即 ， 两重简并。令： 13具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密度为，波长较长，求（1）跃迁选择定则；（2）设离子原来处于基态，求单位时间跃迁到第一激发态的几率。可能用到的递推公式：解：（1）离子从的跃迁几率为 由递推公式可得选择定则：（2）初态为基态，由递推公式可得，所以，单位时间跃迁到第一激发态的几率14某量子系统有两种可能的状态：基态、和激发态、。设系统原来处于基态。以后受到微扰的作用，记微扰矩阵元为，求以后系统处于激发态的几率。解： 时， 所以，当以后，系统处于激发态的几率为 15