《单调性与单调区间的综合应用》进阶练习 (三).doc

单调性与单调区间的综合应用进阶练习一、选择题1.f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，（x2+1）f（x）+2xf（x）0，且f（-1）=0，则不等式f（x）0的解集是（）A.（1，+）B.（-1，0）（1，+）C.（-，-1）D.（-，-1）（0，1）2.关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A.x=2是f（x）的极小值点B.函数y=f（x）-x有且只有1个零点C.存在正实数k，使得f（x）kx恒成立D.对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x243.已知奇函数y=f（x）的导函数f（x）0在R恒成立，且x，y满足不等式f（x2-2x）+f（y2-2y）0，则x2+y2的取值范围是（）A.B.0，2C.1，2D.0，8二、填空题4.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x-2，2上表示的曲线过原点，且在x=1处的切线斜率均为-1有以下命题： f（x）是奇函数； 若f（x）在s，t内递减，则|t-s|的最大值为4； f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0； 若对x-2，2，kf（x）恒成立，则k的最大值为2 其中正确命题的序号为 _ 5.有下列命题： x=0是函数y=x3的极值点； 三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2-3ac0； 奇函数f（x）=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数 其中假命题的序号是 _ 参考答案【参考答案】1.D2.C3.D4.5.【解析】1. 解：令F（x）=（x2+1）f（x）， 则F（x）=（x2+1）f（x）+2xf（x）， 当x0时，（x2+1）f（x）+2xf（x）0， 当x0时，F（x）0， F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+）上单调递减， f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=0， f（1）=0， 当0x1时，F（x）=（x2+1）f（x）0， f（x）0； 又F（-x）=）=（x2+1）f（-x）=-（x2+1）f（x）=-F（x）， F（x）=（x2+1）f（x）为奇函数，又x0时，F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+）上单调递减， x0时，F（x）=（x2+1）f（x）在（-，0）上单调递减， f（-1）=0， 当x-1时，F（x）=（x2+1）f（x）0，从而f（x）0； 由得：0x1或x-1时f（x）0 不等式f（x）0的解集是（0，1）（-，-1） 故选D 根据积函数的求导法则可知F（x）=（x2+1）f（x），依题意可知可判断函数F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+）内单调递减；再由f（-1）=f（1）=0，易得f（x）在（0，+）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-，0）内的正负性则f（x）0的解集即可求得 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，考查运算能力，属难题 2. 解：f（x）=，（0，2）上，函数单调递减，（2，+）上函数单调递增， x=2是f（x）的极小值点，即A正确； y=f（x）-x=+lnx-x，y=0，函数在（0，+）上单调递减，x0，y+，函数y=f（x）-x有且只有1个零点，即B正确； f（x）kx，可得k，令g（x）=，则g（x）=， 令h（x）=-4+x-xlnx，则h（x）=-lnx，（0，1）上，函数单调递增，（1，+）上函数单调递减， h（x）h（1）0，g（x）0， g（x）=在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值， 不存在正实数k，使得f（x）kx恒成立，即C不正确； 对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x24，正确 故选：C 对选项分别进行判断，即可得出结论 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 3.解：函数y=f（x）为奇函数， 不等式f（x2-2x）+f（y2-2y）0，等价为f（x2-2x）f（2y-y2）， 由函数y=f（x）的导函数f（x）0在R恒成立， 函数y=f（x）为减函数， x2-2x2y-y2 即（x-1）2+（y-1）22， 则不等式对应的点的轨迹为圆心为（1，1），半径r=的圆及其内部 故的几何意义为区域内的点到原点的距离， 最小值为0，最大值为直径， 从而x2+y2的最小值为0，最大值为直径的平方8 故x2+y2的取值范围是0，8， 故选：D 根据函数的奇偶性结合函数的导数将不等式进行转化，利用直线和圆的性质进行求解即可 本题主要考查不等式范围的求解，根据函数的导数判断函数的单调性，以及函数的奇偶性的性质是解决本题的关键 4. 解：f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x-2，2上表示的曲线过原点， f（0）=0c=0f（x）=3x2+2ax+b，且在x=1处的切线斜率均为-1 f（1）=f（-1）=-1，解可得b=-4，a=0f（x）=x3-4x，f（x）=3x2-4f（-x）=-x3+4x=-f（x），即f（x）是奇函数；正确 由f（x）0得x或xf（x）在内单调递减，若f（x）在s，t内递减，则，t=，s=-时|t-s|的最大值为；错误 由奇函数的关于原点对称可知，最大值与最小值互为相反数，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0；正确 若对x-2，2，由于f（x）=3x2-4-4，8，则kf（x）恒成立，则k-4，则k的最大值为-4错误 正确命题的序号为 故答案为： 由题意可得f（0）=0，f（1）=f（-1）=-1，代入可求a，b，c，进而可求f（x） 由于f（-x）=-x3+4x=-f（x），即f（x）是奇函数 若f（x）在s，t内递减，则t=，s=-时|t-s|的最大； 由奇函数的关于原点对称可知，最大值与最小值互为相反数， 若对x-2，2，由于f（x）=3x2-4-4，8，则kf（x）恒成立，则kf（x）min即可求解k， 本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，函数的奇偶性及单调性等知识的综合应用 5. 解：y=3x2，在x=0两侧导数都是正的，不符合极值点的定义 f（x）=3ax2+2bx+c=0有根，则须=b2-3ac0正确 是奇函数 f（-x）=f（x）求得m=1，