2019_2020学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课时作业新人教A版.docx

2.3.1直线与平面垂直的判定选题明细表 知识点、方法题号线面垂直的定义及判定定理的理解1,2,3线面垂直的判定及证明4,6,7直线与平面所成的角5,9综合问题8,10,11,12基础巩固1.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面(B)(A)有且只有一个(B)至多一个(C)有一个或无数个(D)不存在解析:若异面直线m,n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.2.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m的是(B)(A),且m (B)mn,且n(C)mn,且n (D)mn,且n解析:A中,由,且m,知m;B中,由n,知n垂直于平面内的任意直线,再由mn,知m也垂直于内的任意直线,所以m,符合题意;C,D中,m或m或m与相交,不符合题意,故选B.3.下列四个命题中,正确的是(D)若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;若一条直线平行于一个平面,另一条直线垂直于这个平面,则这两条直线互相垂直;若两条直线垂直,则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直.(A) (B)(C) (D)解析:中,当直线垂直一组平行直线时,直线可能与平面平行或直线在平面内或直线与平面相交,不正确;中,直线可能与平面不垂直,正确.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,则图中共有直角三角形的个数为(D) (A)1(B)2(C)3(D)4解析:因为PA平面ABCD,所以PAAB,PAAD,PABC,PACD.BC平面PABBCPB,由CD平面PADCDPD.所以PAB,PAD,PBC,PCD都是直角三角形.5.如图,已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2,且SO平面ABCD,O为底面的中心,则侧棱与底面所成的角为(C) (A)75(B)60(C)45(D)30解析:SO平面ABCD,则SAC就是侧棱与底面所成的角,在RtSAO中,SA=2,AO=,所以SAO=45.6.四边形ABCD的对角线交点为O,点P在ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是.解析:因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC.同理可得POBD.因为ACBD=O,所以PO平面ABCD.答案:垂直7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C平面BC1D.证明:连接AC,则ACBD,又BDA1A,ACAA1=A,AC,A1A平面A1AC,所以BD平面A1AC,又A1C平面A1AC,所以BDA1C. 同理可证BC1A1C.又BDBC1=B,BD,BC1平面BC1D,所以A1C平面BC1D.能力提升8.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是(D) (A)ACSB(B)AB平面SCD(C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析:选项A正确,因为SD垂直于平面ABCD,而AC在平面ABCD内,所以AC垂直于SD;再由ABCD为正方形,得AC垂直于BD,而BD与SD相交,所以AC垂直于平面SBD,得AC垂直于SB.选项B正确,因为AB平行于CD,而CD在平面SCD内,AB不在平面SCD内,所以AB平行于平面SCD.选项C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是ASO,SC与平面SBD所成的角就是CSO,易知这两个角相等.选项D错误,AB与SC所成的角等于SCD,而DC与SA所成的角是SAB,这两个角不相等.9.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(D) (A) (B)(C) (D)解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1,B1D1,交于O点,连接OB,由已知A1B1C1D1是正方形,所以A1C1B1D1.又因为BB1平面A1B1C1D1,OC1平面A1B1C1D1,所以OC1BB1.而BB1B1D1=B1,所以OC1平面BB1D1D.所以OB是BC1在平面BB1D1D内的射影.所以C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角.在正方形A1B1C1D1中,OC1=A1C1=.在矩形BB1C1C中,BC1=4+1=.所以sinC1BO=.10.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题: 若PABC,PBAC,则H是ABC的垂心;若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是ABC的垂心;若ABC=90,H是AC的中点,则PA=PB=PC;若PA=PB=PC,则H是ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上.解析:若PABC,PBAC,则H为垂心.因为PAPB,PAPC.所以PA平面PBC,所以PABC,又PH平面ABC,所以PHBC,所以BC平面PAH,所以AHBC.同理BHAC,所以H为垂心.因为H为AC中点,ABC=90,所以AH=BH=CH,又PH平面ABC,由勾股定理知PA=PB=PC,PA=PB=PC,又PH平面ABC,同可知AH=BH=CH,所以H为外心.答案:11.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点. (1)证明:A1D平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE.因为AB=AC,所以AEBC.故AE平面A1BC.连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,从而DEA1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.所以A1DAE.所以A1D平面A1BC.(2)解:作A1FDE,垂足为F,连接BF.因为A1E平面ABC,所以BCA1E.因为BCAE,所以BC平面AA1DE.所以BCA1F,所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由AB=AC=2,CAB=90,得EA=EB=.由A1E平面ABC,得A1B=A1A=4,A1E=.由DE=BB1=4,DA1=EA=,DA1E=90,得A1F=.所以sinA1BF=.探究创新12.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,AA1=,D是A1B1的中点. (1)求证:C1D平面A1B;(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1平面C1DF?证明你的结论.(1)证明:因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,所以A1C1=B1C1.又D是A1B1的中点,所以C1DA1B1.因为AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D.又AA1,A1B1平面A1B,AA1A1B1=A1,所以C1D平面A1B.(2)解:当点F为BB1的中点时,AB1平面C1DF.证明如下:作DEAB1交AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F(图略),此时AB1平面C1DF,点F即为所求.事实上,因为C1D平面A1B,A