电荷周围产生的静电场的电势差与电势的公式与推导.doc

电荷周围产生的静电场的电势差与电势的公式与推导:一场源电荷为Q,在距Q为r的A点有一点电荷为q,求证：此A处电势=kQ/r证明：设无穷远处电势为0，则在电场力的作用下，q从r处运动到无穷远，电场力做功为qU.将A到无穷远这段距离无限等分最远处距离为r0,A 处为rn,(0，1，2，n为下标)故每一等分段内电场力所做功之总和即为qU由W=qU，U=Ed，E=kQ/r²，d=r(n-1)-rn得：W=kQq*(r(n-1)-rn)/rn²所以有：kQq*(r(n-1)-rn)/rn2+kQq*(r(n-2)-r(n-1)/r(n-1)2+kQq*(r2-r3)/r32+kQq*(r1-r2)/r22+kQq*(r0-r1)/r12=qUkQq*(r(n-1)-rn)/(rn*r(n-1)+kQq*(r(n-2)-r(n-1)/(r(n-1)*r(n-2)+kQq*(r2-r3)/(r3*r2)+kQq(r1-r2)/(r2*r1)+kQq*(r0-r1)/(r1*r0)=qU因此，kQ/rn-kQ/r(n-1)+kQ/r(n-1)-kQ/r(n-2)+kQ/r3-kQ/r2+kQ/r2-kQ/r1+kQ/r1-kQ/r0=UkQ/rn-kQ/r0=UkQ/rn-0=-0=kQ/rn,即=kQ/r这种推证方法是错误的。从到是通不过的。首先，最开始的假定就有问题，“将A到无穷远这段距离无限等分最远处距离为r0，A 处为rn，(0，1，2，n为下标)”，那么r0就是无穷大。要知道，无穷大不是一个数。一般不直接参与数的运算。（有一门学科叫做“非标准分析”，里面会专门研究无穷大、无穷小）。从rn到无穷大分成n段（n总是一个自然数吧），不论n有多大，各段间的距离不会太小，而且至少有一段长度无穷大。即便n取为无穷大，也有问题，也不能保证分成各段距离很小，另外，分成无穷多段之后，式求和也有问题需要先证明它收敛，而对于不同的分点的取法，其结果是不一样的，或者说，用式求出来根本就不是电场做的功。从到是在r_k与r_(k-1)非常接近的情况下，r_k2r_k*r_(k-1)，当r_k与r_(k-1)非常接近时，从r_k处到r_(k-1)处场强变化非常小，可以近似认为是这么小一段距离电场强度是均匀的，所以，电量为q的电荷从r_k处运动到到r_(k-1)处，电场做功为kQq*(r_(k-1)-r_k)/(r_k)2kQq*(r_(k-1)-r_k)/(r_k*r_(k-1)如果直接把无穷远处和rn之间分成n段，也无法保证每一段距离都很小（如果每一段都是1米甚至1公里也是可以的），算出来的结果本身就是错误的，在此基础上的推证当然也是错误的。从式无法正确推演到式。正确的证法是：先证明在与电荷Q相距为a、b的两处(假定这两处与电荷Q位于同一直线上)的电势差为kQ/a-kQ/b，再令b，于是得出，与电荷Q相距为a的地方的电势和无穷远处的电势之差为kQ/a，如果把无穷远处的电势设为0，那么，与电荷Q相距为a的地方的电势为kQ/a。在证明 “与电荷Q相距为a、b的两处的电势差为kQ/a-kQ/b”的过程中，需要先把a、b之间分成n段，n需要足够大，使得r_k与r_(k-1)非常接近，然后得出电势差的近似表达式为式，在通过近似计算得到式，式之后的推理都是严格的演绎推理，或者说是恒等变形。当n时，电势差的精确表达式就是式，而、两式左边表达式之差就趋于0，当然认为两者变得严格相等。这里已经有一个对n求极限的过程。那种推证错误的原因在于把对n求极限与对b求极限交换顺序，学过微积分都应该知道，取两次极限是不能随便交换顺序的（一定要有内闭一致连续的条件才行），否则结果就可能错误。虽然在经过两次错误的基