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中考复习 圆 1 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形叫做圆 其中定点称为圆心 定长称为半径 2 圆有对称性 1 圆是轴对称图形 其对称轴是直径所在的直线 对称轴有无数多条 2 圆是中心对称图形 对称中心是圆心 3 圆中的有关概念 1 弦 连结圆上任意两点间的线段叫做弦 经过圆心的弦是直径 2 圆上任意两点间的部分叫做弧 大于半圆的弧叫优弧 小于半圆的弧叫做劣弧 半圆也是弧 3 在同或等圆中 能够完全重合的弧叫等弧 4 圆心角 弧 弦三者之间的关系 1 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对的弧相等 2 在同圆或等圆中 相等的弦所对的圆心角相等 圆心角所对的弧也相等 3 相等的弧所对的圆心角相等 所对的弦相等 5 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 6 半圆或直径所对的圆周角相等 都等于 的圆周角所对的弦是直径 所对的弧是半圆 一 垂径定理 AM BM 重视 模型 垂径定理直角三角形 若 CD是直径 CD AB 1 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 2 垂径定理的逆定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理及推论 直径 过圆心的线 2 垂直弦 3 平分弦 4 平分劣弧 5 平分优弧 知二得三 注意 直径平分弦则垂直弦 这句话对吗 错 例 O的半径为10cm 弦AB CD AB 16 CD 12 则AB CD间的距离是 2cm 或14cm 在同圆或等圆中 如果 两个圆心角 两条弧 两条弦 中 有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 如由条件 AB A B AOB A O B 二 圆心角 弧 弦的关系 三 圆周角定理及推论 90 的圆周角所对的弦是 定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这弧所对的圆心角的一半 推论 直径所对的圆周角是 直角 直径 判断 1 相等的圆心角所对的弧相等 2 相等的圆周角所对的弧相等 3 等弧所对的圆周角相等 四 点和圆的位置关系 不在同一直线上的三个点确定一个圆 这个三角形叫做圆的内接三角形 这个圆叫做三角形的外接圆 圆心叫做三角形的外心 圆内接四边形的性质 1 对角互补 2 任意一个外角都等于它的内对角 1 O的半径为R 圆心到点A的距离为d 且R d分别是方程x 6x 8 0的两根 则点A与 O的位置关系是 A 点A在 O内部B 点A在 O上C 点A在 O外部D 点A不在 O上2 M是 O内一点 已知过点M的 O最长的弦为10cm 最短的弦长为8cm 则OM cm 3 圆内接四边形ABCD中 A B C D可以是 A 1 2 3 4B 1 3 2 4C 4 2 3 1D 4 2 1 3 2 D 3 D 练 有两个同心圆 半径分别为 和r 是圆环内一点 则 的取值范围是 r OP R 1 直线和圆相交 dr dr 2 直线和圆相切 3 直线和圆相离 dr 五 直线与圆的位置关系 切线的判定定理 定理经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C D O A 如图 OA是 O的半径 且CD OA CD是 O的切线 判定切线的方法 定义 圆心到直线的距离d 圆的半径r 切线的判定定理 经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的判定定理的两种应用 1 如果已知直线与圆有交点 往往要作出过这一点的半径 再证明直线垂直于这条半径即可 2 如果不明确直线与圆的交点 往往要作出圆心到直线的垂线段 再证明这条垂线段等于半径即可 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 CD切 O于 OA是 O的半径 C D O A CD OA 1 两个同心圆的半径分别为3cm和4cm 大圆的弦BC与小圆相切 则BC cm 2 如图2 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB是小圆的切线 P为切点 设AB 12 则两圆构成圆环面积为 3 下列四个命题中正确的是 与圆有公共点的直线是该圆的切线 垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 过圆直径的端点 垂直于此直径的直线是该圆的切线 A B C D c A B C O 七 三角形的外接圆和内切圆 A B C I 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三内角角平分线的交点 到三角形各边的距离相等 到三角形各顶点的距离相等 锐角三角形的外心位于三角形内 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点 钝角三角形的外心位于三角形外 三角形的外心是否一定在三角形的内部 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等 并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 切线长定理及其推论 直角三角形的内切圆半径与三边关系 三角形的内切圆半径与圆面积 PA PB切 O于A B PA PB 1 2 一 判断 1 三角形的外心到三角形各边的距离相等 2 直角三角形的外心是斜边的中点 二 填空 1 直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm 则它的外接圆半径 内切圆半径 2 等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 三 选择题 下列命题正确的是 A 三角形外心到三边距离相等B 三角形的内心不一定在三角形的内部C 等边三角形的内心 外心重合D 三角形一定有一个外切圆 6 5cm 2cm 2 1 C 四 一个三角形 它的周长为30cm 它的内切圆半径为2cm 则这个三角形的面积为 30cm 1 如图 圆O中弦AB等于半径R 则这条弦所对的圆心角是 圆周角是 60度 30或150度 2 已知ABC三点在圆O上 连接ABCO 如果 AOC 140 求 B的度数 D 解 在优弧AC上定一点D 连结AD CD AOC 140 D 70 B 180 70 110 4 怎样要将一个如图所示的破镜重圆 A B C P 5 如图 AB是 O的任意一条弦 OC AB 垂足为P 若CP 7cm AB 28cm 你能帮老师求出这面镜子的半径吗 O 7 14 综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径 6 如图 AB是圆O的直径 BD是圆O的弦 BD到C AC AB BD与CD的大小有什么关系 为什么 补充 若 B 70 则 DOE E 40 7 如图 AB是圆O的直径 圆O过AC的中点D DE BC于E 证明 DE是圆O的切线 圆锥的侧面积和全面积 九 弧长的扇形的面积