相似理论与量纲分析.ppt

第四章相似理论与量纲分析 两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题 量纲分析法是用于寻求一定物理过程中 相关物理量之间规律性联系的一种方法 它对于正确地分析 科学地表达物理过程是十分有益的 本章探讨流动的相似理论和量纲分析法 对流体力学试验研究有重要的指导意义 第四章相似理论与量纲分析 相似理论量纲分析 第一节相似理论 一 流体力学相似流体力学相似 某一流动的某种量 速度 压力 阻力等 可由另一流动对应点的同名量乘以对全流场来说相同的某一常数而得到 两流动现象在力学上相似 包括两现象的几何相似 运动相似和动力相似 实验的重要性和必不可少性 实型实验不可能 应采用模拟 如何模拟 如何保证达到模拟的条件 数据又如何转换到实型上去 这些是相似理论要回答的问题 1 几何相似 空间相似 几何相似 指两流场几何形状相似 两流动的对应边长成同一比例 对应角相等 即全流场有一个相同的长度比例 几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同 如固体壁面 自由液面等 尺度比例系数 m 模型流动 p 原型流动 则面积比例系数KA和体积比例系数KV可分别表示为 2 运动相似 时间相似 运动相似指两流动对应几何点上的速度成同一比例 此时 两流动的迹线和流线几何相似 在对应瞬时 流场速度图相似 即相应点速度大小成比例 方向相同 速度比例系数 运动相似是建立在几何相似的基础上 在尺度比例系数已定的情况下 速度比例系数可写成 所以运动相似也称为时间相似 这样一来 其它运动学物理量的比例系数均可分别表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合 速度比例系数 加速度比例系数 角速度比例系数 流量比例系数 运动粘度比例系数 3 动力相似 受力相似 动力相似 运动相似的两流场在对应位置和对应瞬时 作用同样数量的同名力 时变惯性力 位变惯性力 质量力 压差力和粘性力 矢量图都相似 即相应点力的大小成比例 方向相同 并且五种成分力的相似比例数也相同 即力多边形相似 力比例系数 但是 对于各种具体的作用力 KF又取决于它们自身的物理特性的比例系数 所有作用力的相似要求 上式表明 要使模型流动和原型流动动力相似 需要这两个流动在时空相似的条件下 各相似准则都相等 同时满足以上三个方面相似的流动称为流体力学相似流动 二 相似准则 两相似流动的区别只在于各量两流场中所取的比例尺不同而已 将描述流动的量表示成相应比例尺的倍数 则所有的量均成为无量纲的量 如何达到两流动流体力学相似呢 也就是说 保证了什么条件才能相似 这就是要讨论的相似准则问题 两相似流动必须满足同一运动微分方程 N S方程 所有同类的物理量均具有同一比例系数 因此有 由对两运动微分方程及同类物理量有同一比例关系 对比后可写出 式中 1 单位质量的时变惯性力 2 单位质量的位变惯性力 3 单位质量的质量力 4 单位质量的压力 5 单位质量的摩擦力 4 17 1 5 4 3 2 4 17 式就表示模型流动和原型流动的力多边相似 将 4 17 式中用除全式 可得 4 18 1 4 3 2 4 18 式表示模型流动和原型流动在动力相似时 各比例系数之间有一个约束 并非各比例系数的数值可随便选取 1 斯特劳哈尔相似准数 Strouhal 由 4 18 式第 1 项 Sr是一个无量纲的量 它代表了时变惯性力与位变惯性力之比 反映了流体运动随时间变化的情况 对于非定常流动 Sr就是决定性相似准数 2 弗劳德相似准数 Froude 重力作用下两流动的相似准则 由 4 18 式第 2 项 即在动力相似中要求 Fr代表了流动中惯性力与重力之比 反映了流体流动中重力所起的影响作用 若 比如在同一实验地点 则 3 欧拉相似准数 Euler 压力作用下两流动的相似准则 由 4 18 式第 3 项 即在动力相似中要求 Eu准数代表了流体流动中所受的压力与惯性力之比 反映了流动中压力所起的影响作用 它也是一个无量纲的量 4 雷诺相似准数 Reynolds 粘性摩擦力作用下两流动的相似准则 由 4 18 式第 4 项 即在动力相似中要求 Re准数代表了流体流动中所受的惯性力与粘性力之比 反映了流动中粘性摩擦力所起的影响作用 它也是一个无量纲的量 两流动现象的摩擦阻力作用相似时 其沿程阻力系数必相等 即 对于层流区和紊流水力光滑区 由Re数所决定 但在紊流阻力平方区 Re数的变化对值没有影响 这一条件并不是相似所必要的 所以阻力平方区又称为自模拟区 5 马赫相似准数 Mach Ma准数代表了流动中的可压缩程度 C为声速 微小扰动在流体中的传播速度 位变惯性力 时变惯性力 表征 斯特劳哈尔数 弗劳德数 欧拉数 雷诺数 位变惯性力 重力 位变惯性力 粘性力 位变惯性力 压差力 表征 表征 表征 由上面的分析可知 要使两流动动力相似 则必须 模型实验时要同时满足所有的相似准则十分困难 且无此必要 这时要抓住主要矛盾 即根据流动的性质来选取决定性相似准数 例如 重力起支配作用的流动 Fr为决定性相似准数 粘性摩擦力起支配作用的流动 Re为决定性相似准数 对于非定常流动 Sr为决定性相似准数对于可压缩流动 Ma为决定性相似准数 要注意的是在其它相似准数作为决定性相似准数满足相等时 欧拉准数相等是能同时满足的 这是因为由流体流动的基本方程 决定了流动相似的结果压力场也相似 可见粘性和重力相似条件产生矛盾 除非改变g和 而我们知道改变g是不大可能的 由此可知为什么有些实验要在航天飞机上做 改变 的可能性也不大 因为流体力学实验可供选择的流体种类是很少的 通常我们只能抓主要矛盾 保证起决定作用的那个相似准数相等 称为 部分相似 在相似的条件下进行实验 相似准则 重力相似准则 保证两现象的弗劳德数相等 非恒定相似准则 保证两现象的斯特劳哈尔数相等 压差力相似 即欧拉数相等往往是两现象动力相似的结果 粘性相似准则 保证两现象的雷诺数相等 三 模型的设计与数据换算 1 模型流动的设计 设计原则 满足几何相似 运动相似和主要动力相似 即使模型流动和原型流动在时空相似的基础上 满足决定性相似准数相等 2 数据换算 可由模型流动中已确定的一些比例系数以及物理量之间的关系 来确定其它一些比例系数 这样 原型流动中所要获得的数据就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数 相似理论的应用 在相似的条件下进行实验 应该测量实验结果无量纲表达式包含的所有物理量 实验结果应整理成以相似准数和其它无量纲量来表示的函数关系式或绘制成曲线 实验结果只能应用于相似现象之间 在什么条件下进行实验 应该测量哪些物理量 实验结果如何应用 如何进行实验 例题1 解 由于流程较短 重力起主要作用 粘性力可不计 选Fr为决定性相似准数 例题2 解 1 轿车行驶时 空气的粘性摩擦阻力决定其迎面阻力 而重力的作用则很小 故只要保证雷诺数相等 即可使流动力学相似 由于模型中所用流体与原型中所用的流体是同种而且是同温度的 尺度比例系数一般小于1 本实验的风洞实验段比较大 因此取 故风洞实验段内气流速度应是 模型轿车的高度为 于是风洞实验段内的气流速度为 此时风洞内气流已不能作为不可压缩流体来处理 因此尺度比例系数不可取 可见在取尺度比例系数时 要考虑流动性质和实验条件 并非完全随意 2 在模型流动设计时已定下 在相同的流体和相同的温度下 流体密度比例系数为1 而力比例系数 第二节量纲分析 因次分析 相似理论告诉我们如何进行模型实验 如何将模型实验的所得数据换算到实型上去 而量纲分析也是实验的一个理论依据 它的作用是对已建立物理方程的流动问题 能给出肯定的答案 对于方程尚未建立的流动 虽不能给予肯定的回答 但却是处理这一类问题唯一可行的办法 两种常用的量纲分析方法 雷利法 定理 它们的共同特点是通过对有关物理量的量纲分析 使各物理量函数关系中的自变量减为最少 使实验大大简化 本节仅讨论 定理 一 量纲分析的基本概念 1 量纲 物理量的单位种类 量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式 表示物理量的类别 是物理量的质的特征 在量度物理量数值大小的标准 单位 确定之后 一个具体的物理量就对应于一个数值 有了比较意义上的大小 这是物理量的量的特征 2 基本量纲和导出量纲 基本量纲具有独立性 比如与温度无关的动力学问题可选取长度 L 时间 T 和质量 M 为基本量纲 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出 任何特征量B的量纲可写成 若特征量B为无量纲量 则 加速度的量纲 力的量纲 面积的量纲 压强的量纲 3 基本量和导出量 一个问题中诸多物理量可分成基本物理量 基本量 和其它物理量 导出量 两组 前者为互相独立的物理量 后者可通过某种关系式由前者导出 基本量可随便取 但它们的量纲中应包含有L T M这三个基本量纲在内 如可取作为基本量 也可取作为基本量 4 无量纲量 量纲为1 物理量的所有量纲指数为零 用表示 无量纲量有 相似准数 系数 比例数等 无量纲量 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式 其各项的量纲指数都分别相同 二 量纲和谐原理 量纲齐次原理 任何表示客观物理规律的数学关系式 其数学形式不随单位制变换而改变形式 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达 物理过程的有量纲表达形式为 其中m个物理量的量纲被选为基本量纲 余下n m个物理量可各自与这m个物理量组合成无量纲量 定理的结论是 物理过程的无量纲表达形式为 三 布金汉 Buckingham 定理 物理过程涉及n个物理量 其中有m个物理量的量纲是互相独立的 选这些量纲为基本量纲 可组成n m个无量纲量 物理过程则可由这n m个无量纲量的关系式描述 否则就违反了量纲和谐原理 若描述某一力学现象或过程的n特征量之间有下列关系 于是n个有量纲的函数关系转换成 n 3 个无量纲的函数关系 4 25 上式即为 定理的表达式 它表明任何有量纲的量之间的物理关系必可化为无量纲数之间的关系 并且减少了问题中的自变量的数目 这些无量纲数可由理论和实验确定 从而可由已知特征量求得另一些特征量 例 初速为零的自由落体运动位移s s g t g t选为基本量纲 三个量只能组成一个无量纲量s gt2 初速为零的自由落体运动规律s gt2 C 做一次实验测得C 1 2 就不用再做类似实验 包括在月球上做实验 从无量纲表达看 似乎物理过程涉及的因素减少了 其实涉及的物理量并未减少 只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联 比起有量纲表达来 无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质 也更具普遍性 应用 定理要点 也是难点 在于 确定物理过程涉及的物理量时 既不能遗漏 也不要多列 例题3 解 所求问题的函数关系式可表示成