第1章12运动分析.ppt

1 2线性系统的运动分析 1 2 1引言1 2 2线性定常系统的运动分析1 2 3线性定常系统的状态转移矩阵1 2 4线性时变系统的运动分析 1 2 1引言 一运动分析实质 线性系统的状态方程为 运动分析的目的 从系统数学模型出发 定量地和精确地定出系统运动的变化规律 或 数学实质 求解在给定的和u作用下的状态方程 即由初始状态和外输入作用所引起的响应 二 零输入响应和零状态响应 线性系统满足叠加原理 利用该属性可把系统在初始状态和输入向量作用下的运动分解为两个单独的分运动 即由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动 1 零输入响应 零输入响应 指系统输入u为零时 由初始状态x0单独作用所引起的运动 即状态方程的解 用表示 零状态响应 指系统初始状态x0为零时 由系统输入u单独作用所引起的运动 即状态方程的解 用表示 2 零状态响应 系统总的运动响应是零输入响应和零状态响应的叠加 即 1 2 2线性定常系统的运动分析 一 零输入响应 输入u 0时 线性定常系统的状态方程 称为齐次状态方程 求线性定常系统的零输入响应 其实就是求该齐次状态方程的解 1 矩阵指数函数 定义n n的矩阵函数为矩阵指数函数 2 零输入响应 由状态方程描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为 当时 即 线性定常系统的零输入响应为 3几种典型矩阵A的矩阵指数函数 1 当A为对角线矩阵 即时 2 当A为分块对角矩阵 即时 3 当A具有如下形式 则A是零幂矩阵 即自乘若干次后划成零矩阵 应用矩阵指数函数定义 可得 推广可得 4 当A具有如下形式 5 当A具有如下形式 由矩阵指数函数定义 有 6 当A具有如下形式 方法一 幂级数求和法 直接利用矩阵指数函数的定义式计算 即 说明 通常 这种方法只能得到eAt的数值结果 一般不能写成闭合形式函数表达式 实际计算时 可取级数的前有限项给出的近似结果 即 其中 N可根据实际系统精度要求确定 4矩阵指数函数的计算方法 方法二 特征值特征向量法 利用对角形变换求解当A的n个特征值两两互异时 确定矩阵P 化A为对角线标准形 则有 利用约当形变换求解当A有重特征值时 确定矩阵Q 化A为约当标准形 如 则相应的矩阵指数函数为 方法三 拉氏反变换法 对给定的n n常阵A 方法四 利用定理计算矩阵指数函数 定理 对n n矩阵A 其特征多项式为 对于任何多项式f 有n 1次多项式 使 则有 其中 方法3拉普拉斯法对给定常阵A 证 对向量方程等号两端求拉普拉斯变换 有方法4利用下面定理可以用来计算矩阵指数函数 定理2 2 1对矩阵A 其特征多项式为对于任何多项式 有n 1次多项式 2 2 39 使 2 2 40 则有 2 2 41 利用定理2 2 1 令利用 2 2 39 和 2 2 40 可求得 将其代入 2 2 41 即可得 例2 2 1已知 试计算 解 令 A的特征多项式 所以A的特征值 令 二 零状态响应 由状态方程所描述的线性定常系统的零状态响应的表达式为 当时 即 线性定常系统的零状态响应为 三 线性定常系统的状态运动规律 初始状态x0和外输入作用u共同作用下的状态方程 或 的解 可由零输入响应和零状态响应叠加而得出 结论1 线性定常系统在初始状态和外输入同时作用下的状态运动的表达式为 或 结论2 线性定常系统在初始状态和外界输入作用下的状态运动的表达式为 1 2 3线性定常系统的状态转移矩阵 一 线性定常系统的状态转移矩阵 1 状态转移矩阵的定义 对于给定的线性定常系统 其中x为n维状态向量 称满足如下矩阵方程 的n n解阵为系统的状态转移矩阵 2 基本解阵的定义 由方程的任意n个线性无关解所构成的n n矩阵函数 称为方程的一个基本解阵 基本解阵具有如下性质 其中 H为非奇异实常值矩阵 线性定常系统的状态转移矩阵和系统的基本解阵间的一个基本关系式 矩阵指数函数eAt有如下性质 对任意t0 eAt为非奇异实值常阵 因此 eAt是的基本解阵 即有 将其代入 则有线性定常系统的状态转移矩阵为 当t0 0时 可将其表为 即对于线性定常系统来说 它的状态转移矩阵就是矩阵指数函数eAt 3 用状态转移矩阵表示的系统运动规律表达式 或 变量替换 该形式更便于计算 二 线性定常系统的状态转移矩阵的性质 1 证明 由状态转移矩阵的基本关系式知 2 证明 由于 因此 所以有 3 证明 由于分别表示由状态转移至状态的状态转移矩阵 而 故 4 证明 据性质3 该性质可推广为 根据的这一性质 对于线性定常系统有 根据移矩阵的定义可得 这说明状态转移具有可逆性 x t 可由x0转移而来 x 0 也可由x t 转移而来 5 证明 图2 1状态转移矩阵性质5 6 证明 7由A唯一地确定 当利用计算时 与所选择的无关 证明 设和是的两个不同的基本解阵 且两者之间成立 其中 P为非奇异实值常阵 则 这表明是满足唯一性的 总结 已知线性定常系统的状态方程为 求该状态方程的解x t 其实就是求系统的状态响应 主要方法有如下两种 积分法 拉氏变换法 1 2 4线性时变系统的运动分析 一线性时变系统的状态转移矩阵 1定义称满足如下矩阵方程 的n n矩阵为系统的状态转移矩阵 状态转移矩阵与