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文档简介

三重积分的变量代换 柱面坐标代换球面坐标代换 三重积分的对称性 一 三重积分的换元法 例1 求由下面方程表示的曲面所围立体的体积 其中 解 令 则 1 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M的柱坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 因此 适用范围 1 积分域是圆柱或它在某坐标面上的投影为圆 或一部分 2 被积函数中含有x2 y2 相应地 y2 z2 x2 z2 形式 其中 为由 例2 计算三重积分 所围 解 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体 例3 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 与平面 其中 由抛物面 原式 2 利用球坐标计算三重积分 就称为点M的球坐标 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 因此有 适用范围 1 积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面 2 被积函数含x2 y2 z2一类式子 例4 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体 其中 与球面 3 广义球坐标变换 直角坐标与广义球坐标的关系 例13 3 9 椭球的体积 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁 或 说明 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 对应雅可比行列式为 变量可分离 围成 二 利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意 积分区域关于坐标面的对称性 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性 解 积分域关于三个坐标面都对称 被积函数是的奇函数 解 例7 求曲面 所围立体体积 解 由曲面方程可知 立体位于xoy面上部 利用对称性 所求立体体积为 yoz面对称 并与xoy面相切 故在球坐标系下所围立体为 且关于xoz 轮换对称性 若积分区域 的表达式中将x y z依次轮换 表达式不变 则称 关于x y z轮换对称 此时有 例8 设 是由平面x y z 1和三个坐标面所围成的区域 求 解 由轮换对称性 说明 二重积分也有轮换对称性 若积分区域D的表达式中将x y依次轮换 表达式不变 则称D关于x y轮换对称 此时有 例9 设 证 由轮换对称性 1 将 用三次积分表示 其中 由 所 提示 综合例子 六个平面 围成 2 设 由锥面 和球面 所围成 计算 提示 利用对称性 用球坐标 3 计算 所围成 其中 由 分析 若用 先二后一 则有 计算较繁 采
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