【教学设计】《 一次函数的应用》（北师大）.docx

一次函数的应用第课时 教材分析一次函数图象的应用是义务教育课程标准北师大版实验教科书数学八年级（上）第四章一次函数的第节。本节内容安排了个课时完成，本节为第课时.教学任务主要是利用一次函数图象解决有关现实问题。本节课注重学生图象信息的识别与分析，提高学生的识图能力和阅读能力，通过读取的信息回答和解决现实生活中的具体问题，进一步培养学生的数形结合能力和数学阅读能力，发展形象思维。 教学目标【知识与能力目标】.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。【过程与方法目标】.通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识和数学阅读能力，发展形象思维；.通过具体问题的解决，发展学生的数学应用能力；.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式。【情感态度价值观目标】在解决实际问题中，使学生认识到数学与生活是密不可分的，培养学生学习数学的兴趣，进而更好的解决实际问题。 教学重难点【教学重点】一次函数图象的应用。【教学难点】从函数图象正确读取信息，解决实际问题。 课前准备 学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；教师准备课件，图片。 教学过程本节课设计了六个教学环节：本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置。第一环节复习引入内容：提问：（）什么是一次函数？（）一次函数的图象是什么？（）一次函数具有什么性质？目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新。第二环节初步探究内容：展示实际情境提供两个问题情境，供老师选用。实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度(米秒)与其下滑时间(秒 )的关系如图所示。()写出与之间的关系式；()下滑秒时物体的速度是多少？分析：要求与之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可。实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示。 （）这是一次多少米的赛跑？ （）甲、乙二人谁先到达终点？ （）甲、乙二人的速度分别是多少？ （）求甲、乙二人与的函数关系式。目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件。情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式。教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法。内容：想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念基本量。由于一次函数有两个基本量、，所以需要两个条件来确。第三环节深入探究 内容：例 在弹性限度内，弹簧的长度(厘米)是所挂物体的质量(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长；当所挂物体的质量为时，弹簧长。写出与之间的关系式，并求所挂物体的质量为时弹簧的长度。 解：设，根据题意，得， ，将代入，得。所以在弹性限度内，。当时，（厘米）。即物体的质量为千克时，弹簧长度为厘米。目的：引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型。这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解。教学注意事项：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂千克伸长了厘米，则每千克伸长了厘米，同样可以得到与间的关系式。对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同。内容：想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤。求函数表达式的步骤有：.设一次函数表达式。.根据已知条件列出有关方程。.解方程。.把求出的，值代回到表达式中即可。目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法。第四环节反馈练习内容：.如图，直线是一次函数的图象，求它的表达式。.若一次函数的图象经过（，），则 ，该函数图象经过点（， ）和点（ ，）。.如图，直线是一次函数的图象，填空：（） ， ；（）当时， ；（）当时， 。.已知直线与直线平行，且与轴交于点（，），求直线的表达式。答案：。（） ； （）； （）。目的：四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程。效果：四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法。对于问题，教师可引导学生分析，并教学生要学会画图，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性。学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯第五环节课时小结内容：总结本课知识与方法.本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出，的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（）设函数表达式；（）根据已知条件列出有关，的方程；（）解方程，求，；。把，代回表达式中，写出表达式。.本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想。目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化。第六环节作业布置习题.：，。目的：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大。 教学反思本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题。本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础。探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛。教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法。教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获。根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择拓展资源中内容进行补充或拓展，也可留作课后作业。一次函数的应用第课时 教材分析本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第课时，主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维。 教学目标【知识与能力目标】.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。【过程与方法目标】.通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识和数学阅读能力，发展形象思维；.通过具体问题的解决，发展学生的数学应用能力；.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式。【情感态度价值观目标】在解决实际问题中，使学生认识到数学与生活是密不可分的，培养学生学习数学的兴趣，进而更好的解决实际问题。 教学重难点【教学重点】一次函数图象的应用。【教学难点】从函数图象正确读取信息，解决实际问题。 课前准备 学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；教师准备课件，图片。 教学过程本节课分为八个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：反馈练习；第四环节：深入探究；第五环节：反馈练习；第六环节：探究升级；第七环节：课堂小结；第八环节：布置作业。第一环节 复习引入内容：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解。怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容。首先，想一想一次函数具有什么性质？在一次函数中当时，随的增大而增大，当时，直线交轴于正半轴，必过一、二、三象限；当时，直线交轴于负半轴，必过一、三、四象限。当时，随的增大而减小，当时，直线交轴于正半轴，必过一、二、四象限； 当时，直线交轴于负半轴，必过二、三、四象限。目的：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了、的正负对图象的影响。通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫。 效果：学生通过知识回顾，再次明确一次函数图象和性质，为学习本节课在知识上作好准备。 第二环节 初步探究 内容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量(万米) 与干旱持续时间(天)的关系如下图所示，回答下列问题：（）水库干旱前的蓄水量是多少？（）干旱持续天后，蓄水量为多少？连续干旱天后呢？（）蓄水量小于万米时，将发生严重干旱警报。干旱多少天后将发出严重干旱警报？（）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？（根据图象回答问题，有困难的可以互相交流。）答案：（）当，水库干旱前的蓄水量是万米。（）求干旱持续天时的蓄水量，也就是求等于时所对应的的值。当时，约为万米。同理可知当为天时，约为万米。（）当蓄水量小于万米时，将发出严重干旱警报，也就是当等于万米时，求所对应的的值。当等于万米时，所对应的的值约为天。（）水库干涸也就是为，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求。当为时，所对应的的值约为天。目的：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力。效果：本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，从而渗透环保教育。第三环节 反馈练习： （天）（户）内容：当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性。当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应。从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并且参加该活动的家庭数（户）与宣传时间（天）的函数关系如图所示。根据图象回答下列问题：（）活动开始当天，全校有多少户家庭参加了该活动？（）全校师生共有多少户？该活动持续了几天？（）你知道平均每天增加了多少户？（）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到户？（）写出参加活动的家庭数与活动时间之间的函数关系式答案：（）户；（）全校师生共有户，该活动持续了天；（）平均每天增加了户；（）第天时，参加该活动的家庭数达到户；（） 。目的：通过创设情境，让学生进一步认识到一次函数图象的应用，倡导节约用水。同时，通过练习以检验学生对已学内容是否掌握。效果：通过练习，学生会运用一次函数的图象去分析现实生活中的问题，同时渗透环保意识，珍惜水资源。第四环节 深入探究内容：.看图填空（）当时，;（）直线对应的函数表达式是。答案：()观察图象可知当时，；()直线过(，)和(，)设表达式为，得把代入得 直线对应的函数表达式是.议一议一元一次方程与一次函数有什么联系？（请大家根据刚做的练习来进行解答。）答案： 一元一次方程的解为，一次函数包括许多点。因此是的特殊情况。当一次函数的函数值为时，相应的自变量的值即为方程的解。函数与轴交点的横坐标即为方程的解。目的：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，从“数”的角度看，当一次函数的函数值为时，相应的自变量的值即为方程的解；从“形”的角度看，函数与轴交点的横坐标即为方程的解。效果：通过练习，学生明晰了函数与方程的关系，能用函数关系解决方程问题，同时也能用方程的观点来看待函数。第五环节 反馈练习内容：全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积万千米，沙漠面积万千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示。()如果不采取任何措施，那么到第年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米？()如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？()如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造万千米沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到万千米。解：（）如果不采取任何措施，那么到第年底，该地区沙漠面积将新增加万千米。（）从图象可知，每年的土地面积减少万千米，现有土地面积万千米，故从现在开始，第年底后，该地区将丧失土地资源。（）如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造万千米沙漠，每年沙化万千米，实际每年改造面积万千米，由于，故到第年底，该地区的沙漠面积能减少到万千米。目的：通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题；同时，通过土地沙漠化的问题情景引导学生关注自己身边的生存环境。效果：通过对较复杂的问题的探究，培养了学生分析问题和解决问题的能力，并渗透德育教育。 （天）（户）第六环节 探究升级内容：(续前一问题)当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应。从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后都参加了活动，并且参加该活动的家庭数（户）与宣传时间（天）的函数关系如图所示。根据图象回答下列问题：（）若每户每天节约用水吨，那么活动第天可节约多少吨水？（）写出活动开展的第天节约的水量与天数的函数关系。答案：（）第天可节约吨水；（）。目的：通过问题的层层深入，引导学生的思维向纵深发展，进一步巩固用函数的思想解决生活中的问题。效果：学生通过合作交流，解决问题，在教师的引导下，逐步加深了对一次函数图象和性质的运用。第七环节 课堂小结内容：本节课主要应掌握以下内容：.能通过函数图象获取信息。.能利用函数图象解决简单的实际问题。.初步体会方程与函数的关系。目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识。效果：学生畅所欲言，相互进行补充,从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用。第八环节 布置作业内容：.课外探究在生活中，你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题？选择你感兴趣的问题，编制一道数学题与同学交流。.课外作业 习题。 教学反思一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的模型，其应用比比皆是。在教学设计中，争取选用最具有现实生活背景，与学生生活密切相关的问题，一方面力求让学生体会数学的广泛运用，另一方面，在学科教育中渗透德育教育。在教学活动中教师应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，关注学生对图象的识图能力和解决问题的过程，应关注学生对基本知识技能的掌握情况和对一次函数与方程之间的关系的理解。教学过程中可通过学生对“议一议”、“想一想”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况，对于学生的回答，只要学生的方法有道理，教师应给予鼓励和恰当的评价，帮助学生认识自我，建立自信，真正在教学的过程中发挥评价的教育功能。一次函数的应用第课时 教材分析本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题。和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础。 教学目标【知识与能力目标】.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.【过程与方法目标】.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识。【情感态度价值观目标】在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣。 教学重难点【教学重点】能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题。【教学难点】真正读懂函数图象的实际意义。 课前准备 学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；教师准备课件，图片。 教学过程本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置。第一环节：情境引入内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后，又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系，如图所示，结合图象回答下列问题。()农民自带的零钱是多少？()试求降价前 与 之间的关系()由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少？()降价后他按每千克元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是元，试问他一共带了多少千克土豆？活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。第二环节：问题解决内容：例小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午：小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为 ，小慧也于上午：从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为。（）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？（）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少千米？分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？解：设经过时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为、，由题意得：， 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得（）两条直线 ，的交点坐标为（，）这说明当小聪追上小慧时，即离“古刹”，已超过，也就是说，他们已经过了“草甸”（）当小聪到达“飞瀑”时，即，此时 。 所以小慧离“飞瀑”还有（）思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为 ，小慧的解析式为)？活动目的：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识。通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题。在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力。说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。（）两个人是否同时起步？ （）在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？如果用表示路程，表示时间，那么他们的函数解析式是一样？他们各自的解析式分别是什么？内容：海岸公海深入探究例 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶。边防局迅速派出快艇 追赶（如图），下图中， 分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系。根据图象回答下列问题：（）哪条线表示到海岸的距离与时间之间的关系？解：观察图象，得当时，距海岸 ，即，故表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系；（），哪个速度快？解：从增加到时，的纵坐标增加了，而的纵坐标增加了，即 内，行驶了海里，行驶了 ，所以的速度快。（） 内能否追上？解：可以看出，当时，上对应点在上对应点的下方。（）如果一直追下去，那么能否追上？解：如图 ，相交于点。因此，如果一直追下去，那么一定能追上。（）当逃到离海岸海里的公海时，将无法对其进行检查。照此速度，能否在逃到公海前将其拦截？解：从图中可以看出，与交点的纵坐标小于，这说明在逃入公海前，我边防快艇能够追上。活动目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系。说明：学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力。第三环节：反馈练习内容：观察甲、乙两图，解答下列问题.填空：两图中的（ ）图比较符合传统寓言故事龟免赛跑中所描述的情节。.根据中所填答案的图象填写下表：线型项目主人公（龟或兔）到达时间（分）最快速度（米分）平均速度（米分）红线绿线.根据中所填答案的图象求：（）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）；（）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？.请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：（）用简洁明快的语言概括大意，不能超过字；（）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于个，且要分别涉及时间、路和速度这三个量。意图：旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整。说明：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心。.