线性方程组的解法讨论毕业论文.doc

线性方程组的解法讨论毕业论文目 录1 引言12 文献综述12.1 国内外研究现状12.2 国内外研究现状评价22.3 提出问题23 线性方程组的概念及解的基础理论23.1 齐次线性方程组33.2 非齐次线性方程组64 线性方程组的解法94.1 高斯消元法94.2 用克拉默（Cramer）法则解线性方程组104.3 LU分解法114.4 逆矩阵法及广义逆矩阵法125 结论155.1 主要发现155.2 启示155.3 局限性155.4 努力方向15参考文献1611 引言求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题1.对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元.对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐.因此，探讨线性方程组的解法就成了当前数学计算中的一个重点和难点.目前，求解线性方程组的主要方法有高斯消元法2，克拉姆法4，广义逆矩阵法3，LU分解法9，如何选择是大家关心的一个问题.在科技、工程、医学、经济等各个领域中，很多问题常常归结为线性方程.有些问题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程，但其数值解法中却需将该问题“离散化”或“线性化”为线性方程组10.随着计算机存储量的日益增大和计算机速度的迅速提高，使得求解线性代数方程组的直接求法如高斯消去法等在计算机上可以用来求解大规模线性代数方程组，并且由于处理稀疏矩阵存贮和计算技术的飞速发展，加之直接方法理论的日臻完善，进一步断定了直接方法的巨大使用价值和可靠性，因而在近三十年来直接法被广泛地采用，在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解，在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解行如Ax=b的大型线性方程组.许多源于工程技术的数学问题，都可以归结为求解线性方程组.因此在各种数据处理中，线性方程组的求解是最常见的问题之一.因此，找到一种行之有效的方法来解线性方程组可以给计算带来很大的便利，提高人们的工作效率.2 文献综述2.1 国内外研究现状目前，国内外对线性方程组解法的研究已从各个方面进行了一定的探讨，得出了一系列的成果，文献1-2中作者简单地叙述了线性方程组的思想方法，文献3中漫谈了线性方程组的改革，文献4-5中系统地介绍了线性方程组的基本理论，文献6中系统地讲述了线性方程组的各种解法，文献7-10中介绍了一些线性方程组的典例与解法，文献11中韩艳丽介绍了线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用，文献11-12周均介绍了齐次与非齐次线性方程组重要理论的应用举例，文献13-14 花威谈了线性方程组在高等代数中的应用.2.2 国内外研究现状评价国内外对线性方程组的研究多偏重于计算方法和应用方面的研究，分别从商品利润问题、交通问题、在解析几何中的应用问题、解决高等代数等方面进行研究，对线性方程组的系统讨论及怎样选择恰当的方法求解，给出的研究不多. 2.3 提出问题针对国内外研究现状，本文把以上文章中的所有问题进行了综合，对线性方程组的解法作了归纳总结，弥补其中的一些不完善的地方，并例举一些具有针对性、典范性的例题.3 线性方程组的概念及解的基础理论形如 (1.1)的方程组，叫做线性方程组，其中1, 2, n代表n个未知量的系数，m是方程的个数；aij(i=1,2, ,m,j=1,2, ,n) 称为方程组的系数bi(i=1,2, ,s)称为常数项.3.1 齐次线性方程组若方程组(1.1)中全为0，即 （1.2）形如（1.2）的方程组叫做齐次线性方程组7.常记为矩阵形式: Ax=0其中系数矩阵的秩. 且方程组(1.2)的解空间为. 则可以得到下列结论, 这里表示方程组(1.1)解空间的维数9定理 齐次线性方程组一定有解：(1) 若齐次线性方程组，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是.解的性质：记,(1)如果，那么； (2)如果为任意常数，那么.(3)齐次线性方程组的通解为, 是任意常数，其中是的一个基础解系.例115 解线性方程组解 方法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵 显然有，则方程组仅有零解，即.方法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：，知方程组仅有零解，即.例22 解线性方程组解 将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵 可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中，为自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程组的一个基础解系为，.所以，原方程组的通解为 （，）.例33 求齐次线性方程组的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解.解 将系数矩阵化成简化阶梯形矩阵 可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为（其中,为自由未知量）令，得；令，得，于是得到原方程组的一个基础解系为,所以，原方程组的通解为（其中,为任意实数）.注：基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n-r(A). 由上面的定理可知，若是系数矩阵的行数（也即方程的个数），是未知量的个数，则有：（1）当时，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式；（3）当且时，此时系数矩阵的行列式，故齐次线性方程组只有零解；（4）当时，此时，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“”.3.2非齐次线性方程组1若方程组(1.1)中不全为0，即 （1.3）形如（1.3）的方程组叫做非齐次线性方程组，常记为矩阵形式: Ax=b.其中系数矩阵的秩. 且方程组(1.3)的解空间为. 则可以得到下列结论, 这里表示方程组(1.1)解空间的维数9称为方程组(1.3)的增广矩阵，关于非齐次线性方程组，有以下理论：(1)唯一解： 线性方程组有唯一解.(2)无解：线性方程组无解.(3)无穷多解：线性方程组有无穷多解.2.解的性质：记,.(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)非齐次线性方程组的通解为, 是任意常数,其中是的一个解(称为特解)，是的一个基础解系. 例47 解线性方程组解 可见，则方程组有唯一解.所以方程组的解为 例51 解线性方程组解 ，可见，所以原方程组无解. 例6 解线性方程组解 可见，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中,为自由未知量）令得原方程组的一个特解.又原方程组的导出组的同解方程组为（其中,为自由未知量）令，得；令，得，于是得到导出组的一个基础解系为，.所以，原方程组的通解为（，）.4 线性方程组的解法4.1 高斯消元法高斯（Gauss)消元法是一种古老的方法4，基于高斯消元法的基本思想而改进、变形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）交换某两个方程的位置；（3）用某个常数k乘以某个方程.这三种变换统称为线性方程组的初等变换.高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量.现举例说明如下：例7 解线性方程组解 分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以，得再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量，整理得最后解得.小结：高斯（Gauss)消元法的思想比较简单，操作起来比较容易，但它只适用于未知数较少的线性方程组；当方程个数和未知数较多时，消元较为困难.4.2 用克拉默（Cramer）法则解线性方程组定理1 如果方程组Ax=b中D=|A|0，则Ax=b有解，且解是唯一的，解为是D中第i列换成列矩阵b所得的行列式.定理2 如果方程组Ax=b中有非零解，那么必有D=|A|=0,Cramer法则解n元方程组有两个前提条件：(1)未知数的个数等于方程的个数.(2)系数行列式不等于零定理33 当齐次线性方程组，时该方程组有唯一的零解.定理44 齐次线性方程组有非零解.例8 解线性方程组解 所以，方程组有唯一解.，因此，线性方程组的解为：.小结：Cramer法则用于判断具有n个未知数的n个线性方程的方程组解的情况12.当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一.如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零.如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解.如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零. 用克拉默（Cramer）法则解线性方程组比较简单，操作起来也比较容易，但它只适用于解未知数的个数和方程个数相同的线性方程组，而且通常是解非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，只能求出零解，非零解无法求出.4.3 LU分解法LU分解法是直接分解法中的一种算法10，将方程组Ax=b 中的稀疏矩阵A分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵，其中A=LU,令y=Ux,那么在方程租的运算中可以先解Ly=b,再解Ux=y在编程过程中分两步进行，先对矩阵A进行LU分解，然后再解方程组.例9 用LU分解法解方程组 解 由LU分解小结：LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变13，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组. 设n阶线性方程组Ax=b .将方程组左端系数矩阵A，分解成两个三角阵的乘积14，即A=LU ，式中，L为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵, 且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U为主对角线以下的元素均为零.4.4逆矩阵法及广义逆矩阵法1. 线性方程组AX=b,当A可逆时，(注：A是方阵).例10 解线性方程组Ax=b,其中，b=(1，-2，4).解 ,所以，系数矩阵A可逆.，方程组变形为 x=A-1b因此，线性方程组的解为：.注：针对线性方程组AX=b,上述解法只适用于A是方阵且可逆的线性方程组.下面主要讨论如何将上述方法加以推广，使之能运用到一般的线性方程组的求解中.2. 设.如果存在，使得，则称为矩阵的一个1-广义逆矩阵，记作.矩阵的1-逆总是存在的，但一般不是惟一的12，矩阵的1-逆的全体记为.若，为的一个1-广义逆矩阵2，则对为任意的矩阵，矩阵的一个1-广义逆矩阵为,同时还可以表示为.广义逆矩阵的计算：(1)设，且有和阶置换矩阵使得则对任意的，矩阵是的一个1-广义逆矩阵.若存在使得则矩阵的1-逆的全体(2)设，则有惟一1逆的充分必要条件是，且，即可逆.这个惟一的1逆就是.定理1 12 设，,则是线性方程组有解的充要条件,其中.如果线性方程组有解，其通解可表示为，其中是任意的维列向量.定理214 设线性方程组有解，是矩阵的一1-广义逆矩阵，并且，则为线性方程组的最小范数解.定理315 设为矩阵的一个1-广义逆矩阵，且，则对任意的维列向量,一定是线性方程组的最小二乘解.例11 解线性方程组 解 令 ，.通过行初等变换得到 .取，再令，得.可以验证 所以，线性方程组有解，且通解为(任意)7.小结：该方法对线性方程组解的讨论更加完整，表达形式也更加简洁系统.在无穷多个解向量中，此法可求出一个长度最短解向量，当方程组无解时，又可求出其最优近似解，而且该方法在概率统计、线性规划等领域中应用比较广泛.5 结论5.1 主要发现线性方程组有多种解法，每种解法都有它的优越性和局限性.线性方程组是线性代数的心脏，它可以应用到很多方面，根据其重要理论可以解决很多问题，使得一些问题得到意想不到的简单解法.5.2 启示线性方程组的解法虽多，要选择一种适合的并不容易，我们需要先对线性方程组进行分类：齐次线性方程组和非齐次线性方程组.根据不同的线性方程组的不同特征，进而采用适当的方法求解.5.3 局限性线性方程组的解法还有多，由于本人的能力和时间有限，只对其中的几种方法进行讨论和分析.5.4 努力方向除了文章所述线性方程组的理论知识和求解方法外，由于线性方程组的解法相当多，在今后的学习中将不断的深入研究，以弥补文章中许多不足之处.参考文献 1北京大学数学系.高等代数M.北京: 高等教育出版社, 1988:25-50.2张禾瑞.,郝鈵新.高等代数M.第四版.北京: 高等教育出版社, 1999:35-68.3丘维声. 高等代数M.北京: 高等教育出版社, 1996:32-65. 4北京大学数学系几何与代数教研代数小组.高等代数M.第二版.北京:高等教育出版社,1988:20-55.5熊廷煌.高等代数简明教程M.武汉:湖北教育出版社,1987:30-55.6邓建中,刘之行.计算方法M.西安:西安交通大学出版社,2001:25-60.7张元达.线性代数原理M. 上海:上海教育出版社,1980:45-60.8蒋尔雄.线性代数M.北京:人民教育出版社,1996:100-128.9霍元极.高等代数M.北京:北京师范大学出版社,1988:77-120.10关治,陈精良.数学计算方法M.北京:清华大学出版社,1990:45-90.11韩艳丽.求解线性方程组的Jacobi和GaussSeidel迭代法的收敛定理J.中国西部科技,2009: 20-31. 12周均,韩乐文.应用matlab求线性方程组的Cramer法则方法探讨J.重庆职业技术学院学报,2004,13(3):109-130.13常双领. 张传林. 求解线性方程组的一种迭代解法J. 暨南大学学报, 2004,22(3): 06.30-70.14花威.线性方程组的迭代解法及Matlab实现程序J,长江工程职业技术学院学报,2009,26(4):95-120.15谢邦杰.线性代数M.北京:人民教育出版社,1999:100-14