二面角大小的求法

二面角大小的求法 蕲春县李时珍中学郭炳星 二面角大小的求法中知识的综合性较强 方法的灵活性较大 一般而言 二面角的大小往往转化为其平面角的大小 从而又化归为三角形的内角大小 在其求解过程中 主要是利用平面几何 立体几何 三角函数等重要知识 求二面角大小的关键是 根据不同问题给出的几何背景 恰在此时当选择方法 作出二面角的平面角 有时亦可直接运用射影面积公式或空间向量求出二面角的大小 现将二面角大小的几种常见求法归类复习一下 一 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面内作棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形的特性 例1在四棱锥P ABCD中 ABCD是正方形 PA 平面ABCD PA AB a 求二面角B PC D的大小 解 定义法 如图 AB AD a 过B作BH PC于H 连结DH则DH PC故 BHD为二面角B PC D的平面角 因PB a BC a PC a PB BC S PBC PC BH则BH DH又BD 在 BHD中由余弦定理 得cos BHD 又 BHD 则 BHD 因此二面角P BC D的大小是 二 三垂线法 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线 用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角 例2在四棱锥P ABCD中 ABCD是平行四边形 PA 平面ABCD PA AB a ABC 30 求二面角P BC A的大小 解 三垂线法 如图PA 平面BD过A作AH BC于H 连结PH则PH BC 又AH BC故 PHA是二面角P BC A的平面角 在Rt ABH中 AH ABsin ABC aSin30 在Rt PHA中 tan PHA PA AH 则 PHA arctan2 因此 二面角P BC A的大小是arctan2 三 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角 由此可知 二面角的平面角所在的平面与棱垂直 例3在四棱锥P ABCD中 ABCD是正方形 PA 平面ABCD PA AB a 求二面角B PC D的大小 解 垂面法 如图PA 平面BDBD AC故BD BC过BD作平面BDH PC于H则PC DH BH BHD为二面角B PC D的平面角 因PB a BC a PC a PB BC S PBC PC BH则BH DH又BD 在 BHD中由余弦定理 得 cos BHD 又0 BHD 则 BHD 因此 二面角B PC D的大小是 四 射影法 利用面积射影公式S射 S原cos 其中 为平面角的大小 此方法不必在图形中画出平面角 例3在四棱锥P ABCD中 ABCD为正方形 PA 平面ABCD PA AB a 求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小 解 面积法 如图同时 BC 平面BPA于B故 PBA是 PCD在平面PBA上的射影 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为 则cos 故 45 即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45 五 对于一类没有给出棱的二面角 应先延伸两个半平面 使之相交出现棱 然后再选用上述方法 尤其要考虑射影法 例5 在四棱锥P ABCD中 ABCD为正方形 PA 平面ABCD PA AB a 求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小 解 补形化为定义法 如图将四棱锥P ABCD补形得正方体ABCD PQMN 则PQ PA PD 于是 APD是两面所成二面角的平面角 在Rt PAD中 PA AD 则 APD 45 即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45 小结 二面角的类型和求法可用框图展现如下 五 法向量 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角 图1图2 例题6 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC 4 AA1 2 点Q是BC的中点 求此时二面角A A1D Q的大小 解如图2 建立空间直角坐标系 依题意 A1 0 0 2 D 0 4 0 Q 2 2 0 面AA1D的法向量 设面A1DQ的法向量 则 令a1 1 则 二面角的平面角为锐角 二面角A A1D Q的大小为 例7如图5 在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中 AD BC ABC 900 SA 面ABCD SA AB BC 1 AD 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小 解 以A为原点如图建立空间直角坐标系 则S 0 0 A 0 0 0 B 0 1 0 C 1 1 0 D 0 0 显然平面SBA的一个法向量为 1 0 0 设平面SCD的一个法向量为 x y z 则 平面SCD 则 小结 1 用法向量的方法处理二面角的问题时 将传统求二面角问题时的三步曲 找 证 求 直接简化成了一步曲 计算 这在一定程度上降低了学生的空间想象能力 达到不用作图就可以直接计算的目的 更加注重对学生创新能力的培养 体现了教育改革的精神 2 此法在处理二面角问题时 可能会遇到二面角的具体大小问题 所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小 然后根据计算取 相等角 或取 补角 课堂小结 求解二面角是立体几何中最基本 最重要的题型 也是各地高考中的 热点 问题 虽然对此可说是 千锤百炼 但我们