252圆的对称性(1)

25 2圆的对称性 1 2 我们采用什么操作方法研究轴对称图形 1 把一个图形沿着某一条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫做对称图形 这条直线叫做 折叠 轴 对称轴 圆是轴对称图形 过圆心的直线 直径所在的直线 是它的对称轴 有无数条对称轴 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 一 O A C B N M D 或 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 判断 任意一条直径都是圆的对称轴 如何确定圆形纸片的圆心 说说你的想法 将圆纸片对折 确定出圆的一条直径 用同样的方法 再确定出圆的另一条直径 两条直径的交点即为圆形纸片的圆心 1 判断下列图形是否具有对称性 如果是中心对称图形 指出它的对称中心 如果是轴对称图形 指出它的对称轴 如果一个对称图形与圆具有相同的对称中心或对称轴 那么它和圆组成的新图形就是中心对称图形或轴对称图形 如图 CD是 O的弦 画直径AB CD 垂足为P 将圆形纸片沿AB对折 通过折叠活动 你发现了哪些相等的线段和相等的弧 二 看一看 AE BE AE BE 动动脑筋 叠合法 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 题设 结论 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 讨论 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对优弧 5 平分弦所对的劣弧 3 1 2 4 5 2 3 1 4 5 1 4 3 2 5 1 5 3 4 2 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 命题 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 已知 CD是直径 AB是弦 并且CD平分AB 求证 CD AB AD BD AC BC 命题 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 已知 AB是弦 CD平分AB CD AB 求证 CD是直径 AD BD AC BC 命题 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 已知 CD是直径 AB是弦 并且AD BD AC BC 求证 CD平分AB AC BC AD BD CD AB O C A E B D C 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 上述操作过程中 当圆的直径与弦垂直的时候 你会得出什么结论 M O A C B N 直线MN过圆心O MN AB AC BC 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 垂径定理 证明 连接 你能证明定理吗 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 已知 在 中 是直径 是弦 垂足为 例 如图 以点O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于点C D AC与BD相等吗 为什么 E 例2 某居民区一处圆形下水管道破裂 修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道 如图所示 已知污水水面宽度为60cm 水面至管道顶部距离为10cm 问修理人员应准备半径多大的管道 O 解 过 点作 并延长 交 于 连接 垂径定理和勾股定理相结合 构造直角三角形 把圆的问题化归为直线形问题解决 O 四 圆的问题可以化归为直线型问题解决 这是一种研究数学的重要思想 二 垂径定理 一 圆是轴对称图形 其对称轴是 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 三 垂径定理和勾股定理相结合 构造直角三角形 可解决计算弦长 半径 圆心到弦的距离等问题 任意一条过圆心的直线 或直径所在直线 如图 O的直径是10 弦AB的长为8 P是AB上的一个动点 则OP的求值范围是 使线段OP的长度为整数值的P点位置有个 p1 p2 C 注意圆的轴对称性 3 OP 5 5 思考 在例2中 我们已计算出 的半径 cm 如果水面宽度由60cm变为80cm 那么污水面下降了多少cm O 两弦在圆心同旁 两弦在圆心两旁 cm cm 作垂径 连半径 构造直角三角形 注意圆的对称性 以矩形ABCD的边 为直径的 交 于E F DE 1cm EF 3cm 则AB 练习 2 如图 过 O内一点P 作 O的弦AB 使它以点P为中点 如上图 O的直径是10 线段OP的长为3 则过点P的所有弦中 最大弦长为 最短弦长为 弦长为整数的有条 连半径 构造直角三角形 3 CD为 O的直径 弦AB CD于点E CE 1 AB 10 求