高等数学不定积分的计算教学ppt课件.ppt

第四章不定积分 第一节不定积分的概念 第二节不定积分的计算 1 第一节不定积分的概念 一 换元积分法 二 分部积分法 本节主要内容 一 第一类换元积分法 二 第二类换元积分法 2 一 换元积分法 一 第一类换元积分法 凑微分法 引例 3 解决方法 利用复合函数的中间变量 进行换元 说明结果正确 4 将上例的解法一般化 将上述作法总结成定理 使之合法化 可得 换元法积分公式 5 定理4 2 1设f u 具有原函数F u u 是连续函数 那么 难 易 6 例2计算 我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下 被积函数是一个复合函数 与公式作对比 公式中自变量x变成了ax b的形式 这时设ax b为中间变量 7 8 例3计算 1 被积函数中含有两个多项式 其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次 设高一次的多项式为中间变量 目的是约去另一个因式 被积函数是两个函数乘积形式 1 原式 9 例3计算 2 原式 10 例4计算 2被积函数中 其中一部分函数 正好 是另一部分函数的导数 例5计算 11 例4计算 原式 2 被积函数中 其中一部分函数 正好 是另一部分函数的导数 12 例5计算 原式 13 例6计算 14 例6计算 原式 15 第一类换元积分法 凑微分法 是一种非常有效的积分法 首先 必须熟悉基本积分公式 对积分公式应广义地理解 如对公式 应理解为 其中u可以是x的任一可微函数 其次 应熟悉微分运算 针对具体的积分要选准某个基本积分公式 凑微分使其变量一致 16 常用的凑微分形式有 17 例7计算 例7计算 18 例7计算 19 例7计算 20 例7计算 例7计算 21 例7计算 解法一 22 例7计算 解法二 23 例7计算 24 例8计算 有理分式积分 例8计算 练习求 25 例8计算 练习求 例8计算 练习求 26 例8计算 例8计算 例8计算 例8计算 27 例8计算 1 有理分式积分 28 例8计算 练习求 原式 29 例8计算 练习求 30 例8计算 练习求 31 例8计算 练习求 32 例8计算 33 例8计算 34 例8计算 35 例9 36 例9 37 例9 38 例10 被积函数含有三角函数 例10 39 例10 例10 例10 例10 40 例10 3 被积函数含有三角函数 41 例10 42 例10 43 例10 44 例10 45 例10 46 例11计算 例12 47 例11计算 48 例12 49 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循 只能具体问题具体分析 要掌握好这种方法 需要熟记一些函数的微分公式 并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形 拼凑出合适的微分因子 50 练一练 51 练一练 52 二 第二类换元积分法 定理4 2 2函数x t 有连续的导数且 t 0 又f t t 有原函数F t 则其中t 1 x 是x t 的反函数 53 1 根式代换 被积分函数中含有 根号里是一次式 类型 根式代换法 令 例1计算 例2计算 例3计算 例4计算 54 例1计算 令则于是 55 例2计算 令则于是 56 例3计算 令则于是 57 例4计算 令则于是 58 练一练 59 2 三角代换 被积分函数中含有类型 三角代换法 60 例5计算 令则 61 62 例6计算 令则 根据作辅助三角形 如图 63 其中C C1 lna 64 例7计算 令则 根据作辅助三角形 如图 65 其中C C1 lna 66 第二类换元积分法是基本积分方法之一 使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换 消除被积式中的根号 最常见的形式有 1 被积函数中含有 设 2 被积函数中含有 设 n为n1 n2的最小公倍数 3 被积函数中含有 设 4 被积函数中含有 设 5 被积函数中含有 设在作三角替换时 可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系 以返回原积分变量 67 例8计算 解法一三角代换法 令x tant 于是得 则dx sec2tdt 68 ln csct cott C 69 解法二根式代换法 于是有 70 练一练 71 二 分部积分法 设函数u u x v v x 具有连续导数 u u x v v x 根据乘积微分公式 于是有 即 d uv udv vdu 分部积分公式 72 难 易 73 例1计算 可见运用分部积分公式的关键是恰当选择u v 74 当被积函数是两种不同类型函数的乘积时 我们可以按照 反 对 幂 指 三 即反三角函数 对数函数 幂函数 指数函数 三角函数 的顺序 选择排列次序在前的函数作为u 而将排在后的另一个函数选作v 75 例3计算 76 例4计算 例5计算 例6计算 例7计算 例8计算 例9计算 例10计算 例11计算 例12计算 77 例4计算 78 例5计算 练习求 79 例6计算 80 例7计算 81 例8计算 移项 两边除以2 并加积分常数 得 当两次应用分部积分法后又出现了原积分时 我们是用解方程的方法求出积分结果的 注意 82 例9计算 83 例10计算 令则于是 84 例11计算 求上式右端的不定积分 用第二换元法 85