北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高三数学理.doc

宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 1 页 北京市宣武区北京市宣武区 2009 2010 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测 高高 三三 数数 学 理科 学 理科 2010 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 8 页 全卷满分 150 分 考试时间为 120 分钟 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 40 分 分 一 选择题 本大题共有一 选择题 本大题共有 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每个小题给出的四个选项中 有且只分 在每个小题给出的四个选项中 有且只 有一个是符合题目要求的 有一个是符合题目要求的 1 设集合 全集 则集合的元素个数有 4 3 2 1 A 5 4 3 BBAU BACU A 个1B 个2C 个 3D 个 4 2 是 直线与直线互相垂直 的 2 a03 2 1 yaxl14 2 xyl 3 下列结论正确的是 4 从 45 名男生和 15 名女生中按分层抽样的方法 选出 8 人参加国庆活动 若此 8 人站在同一排 则 不同的排法种数为 A 2 15 6 45C C B 8 8 2 15 6 45 ACC C 3 15 5 45C CD 8 8 3 15 5 45 ACC 5 如图 设是图中边长为 4 的正方形区域 是内函数图象下方DED 2 xy 的点构成的区域 向中随机投一点 则该点落入中的概率为 DE A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 A 使成立 Rx 012 2 xx B 都有成立0 x2 lg 1 lg x x C 函数 2 2 1 2 2 yx x 的最小值为2 D 02x 时 函数 1 x x 有最大值为 y 2 3 A 5 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 2 页 12 题图 6 设函数 其中 则导数的取值范围是 14 2 cos 3 sin3 23 xxxxf 6 5 0 1 f A 63 B 343 C 634 D 3434 7 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 线段 11 B D上有一个点 E 且 则四棱锥21 1 ED 的体积为 DBEDA 1 8 已知函数和都是定义在上的偶函数 当时 则当 xf 2 xfR 2 2 x xgxf 时 的解析式为 24 24 nnx nZ xf A xgB 2 nxg C 4 nxg D 4 nxg 第第 卷卷 非选择题 非选择题 共共 110 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 把答案填在相应的位置上 分 把答案填在相应的位置上 9 已知的展开式中二项式系数之和为 16 则 设 为虚数单位 复数的 n x 3 ni n i 1 运算结果为 10 已知非零向量满足 且 则向量a与向量b的夹角 ba ba2 bab 11 如果点 P 在不等式组 所确定的平面区域内 点 012 02 022 y yx yx Q 在圆上 那么 1 3 3 2 2 yx PQ 的最小值为 12 执行如图程序框图 若输出的值为y 11 则输入的值为 x A 22B 2 C 24 D 3 24 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 3 页 13 题图 13 如图 已知和所在平面互相垂直 ABC BCD 0 90 BCDABCaAB bBC 且 则三棱锥的cCD 1 222 cbaBCDA 外接球的表面积为 14 用三个字母组成一个长度为个字母的字符串 要求由开始 相邻两个字 1 n Nn 母不同 例如时 排出的字符串可能是或 时排出的字符串可能是 1 n 2 n 如图 若记这种个字符串中 排在最后一个的字母仍是的所有字符串的种数为 1 n 可知 则 数列的前项之和 n a2 0 21 aa 4 a n an2 n aaaa 2321 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 个小题 共个小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题共 13 分 已知三个内角 A B C的对边分别为 a b c 且 ABC Babsin23 0 ACAB 求A 的度数 若 求的面积 2 3 coscos BCA6 aABC 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 4 页 16 本小题共 13 分 如图正三棱柱 若为棱中点 111 CBAABC 2 1 AA2 ABNAB 求证 平面 1 ACCNB1 求与平面所成的角正弦值 11C ACNB1 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 5 页 17 本小题共 13 分 某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动 进行现场抽奖 盒中装有 9 张大小相同的 精美卡片 卡片上分别印有 世博会会徽 或 海宝 世博会吉祥物 图案 抽奖规则是 参加者从盒中抽取卡片两张 若抽到两张都是 海宝 卡即可获奖 否则 均为不获奖 卡 片用后放回盒子 下一位参加者继续重复进行 I 活动开始后 一位参加者问 盒中有几张 海宝 卡 主持人答 我只知道 从盒中抽 取两张都是 世博会会徽 卡的概率是 求抽奖者获奖的概率 18 5 现有甲乙丙丁四人依次抽奖 用表示获奖的人数 求的分布列及的值 ED 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 6 页 18 本小题共 13 分 已知二次函数的图像经过坐标原点 且满足 设函数 xg12 1 xxgxg 其中为非零常数 1ln xxmgxfm I 求函数的解析式 xg II 当 时 判断函数的单调性并且说明理由 02 m xf III 证明 对任意的正整数 不等式恒成立 n 23 111 ln 1 nnn 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 7 页 19 本小题共 14 分 已知直线 与圆 C 相交于两点 l1 kxy1 3 2 22 yxBA 求弦的中点的轨迹方程 ABM 若为坐标原点 表示的面积 求的最大O kSOAB 1 3 2 2 k kSkf kf 值 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 8 页 20 本小题共 14 分 已知函数 为正整数 55 5 x xfm 求和的值 0 1 ff 1 xfxf 若数列的通项公式为 求数列的前项和 n a m n fan mn 2 1 n am m S 设数列满足 设 n b 2 1 1 b nnn bbb 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n n bbb T 若 中的满足对任意不小于 3 的正整数 n 恒成立 试求 m S57774 nm TS m 的最大值 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 9 页 北京市宣武区北京市宣武区 2009 2010 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测 高三数学高三数学 理理 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2010 1 一 选择题 本大题共有一 选择题 本大题共有 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每个小题给出的四个选项中有且仅有分 在每个小题给出的四个选项中有且仅有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的 题号12345678 答案CADBCADC 二 填空题 本大题共有二 填空题 本大题共有 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 请把答案写在相应的位置上分 请把答案写在相应的位置上 题号91011121314 答案 4 4 3 2 122 5 6 3 142 n 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 6 个小题 共个小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 13 分 解 Babsin323 由正弦定理知 BABsinsin32sin3 是三角形内角 B 从而有 0sin B 2 3 sin A 0 ACAB 6 分A o 60 将 BAC 代入得 2 3 coscos BCA 2 3 coscos CACA 利用两角和与差的余弦公式展开得 4 3 sinsin CA 2 1 sin C 相应的有 C o 30 的面积为 13 分ABC 36 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 10 页 16 本题满分 13 分 证明 连结和交于点 连 1 BC 1 CBOON 是正三棱柱 111 CBAABC 为的中点 又为棱中点 O 1 BCNAB 在中 又 平面 1 ABC 1 ACNOCNB1平面 NO 1 AC CNB1 平面 6 1 ACCNB1 分 建如图所示空间直角坐标系 0 0 0N 0 2 1 1 B 3 0 0C 0 2 1 1 A 3 2 0 1 C 3 0 0 NC 0 2 1 1 NB 设平面的法向量为 n n CNB1 zyx 即 令 得 n n 0 0 1 nNB nNC 02 03 yx z 2 y 0 2 2 3 0 1 11 CA 6 6 26 2 cos 11 11 11 CAn CAn CAn 与平面所成的角正弦值为 13 分 11C ACNB1 6 6 17 本题满分 13 分 解 I 设 世博会会徽 卡有张 由 得 n 18 5 2 9 2 C Cn 5 n 故 海宝 卡有 4 张 抽奖者获奖的概率为 6 分 6 1 2 9 2 4 C C 的分布列为 6 1 4 B 4 3 2 1 0 6 5 6 1 4 4 kCkP kkk 01234 P 40 0 4 6 5 6 1 C 31 1 4 6 5 6 1 C 22 2 4 6 5 6 1 C 13 3 4 6 5 6 1 C 04 4 4 6 5 6 1 C 13 分 3 2 6 1 4 E 9 5 6 1 1 6 1 4 D 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 11 页 18 本题满分 13 分 解 设 的图象经过坐标原点 所以 c 0 cbxaxxg 2 xg 12 1 xxgxg12 1 1 22 xbxaxxbxa 即 1 2 2 22 xbaxbaxbaax a 1 b 0 分 2 xxg 函数的定义域 1ln 2 xmxxf 为 1 1 122 1 1 2 2 x mxmx x mxxf 令 122 2 mxmxxk1 2 2 1 2 2 m xmxk1 2 2 1 max m kxk 在上恒成立 02 m01 2 max m xk0122 2 mxmxxk 1 即 当时 函数在定义域上单调递减 分0 xf02 m f x 1 III 当时 令 1 m 2 ln 1 f xxx 332 ln 1 h xxf xxxx 则在上恒正 32 3 1 1 xx h x x 0 在上单调递增 当时 恒有 xh 0 0 x 0 0h xh 即当时 有 0 x 32 ln 1 0 xxx 23 ln 1 xxx 对任意正整数 取得 n 1 x n 23 111 ln 1 nnn 分 19 本题满分 1 分 解 直线 与轴的交点为 N 0 1 圆心 C 2 3 设 M lyxy 与所在直线垂直 MNMC1 2 31 x y x y 20 xx且 当时不符合题意 当时 符合题意 0 x2 x3 y 中点的轨迹方程为 6AB0342 22 yxyx 4 77 4 77 x 分 设 2211 yxByxA 宣武区高三数学期末检测试卷 理 共 13 页 第 12 页 且 ONAONBOAB SSS 1 ON 12 2 1 xxONS OAB 将代入方程得 1 kxy1 3 2 22 yx07 1 4 1 22 xkxk 2 21 1 1 4 k k xx 2 21 1 7 k xx 4 21 2 21 2 12 2 4 xxxxxxS OAB 22 2 1 121232 k kk 0 分 1 3 2 2 k kSkf 22 1 8 k k 由 得 0 1 3 3 3 3 24 32 k kk kf 3 3 k0 3 74 3 74 k 时 的最大值为 4 3 3 k kf 2 33 分 20 本题满分 1 分 解 1 51 5 55 5 0 1 ff 1 1 xfxf 55 5 55 5 1 xxx x x 555 55 55 5 分 由 得 即 11 1 1 mk m k f m k f 1 1 kmk aa m km f m k f 由 m1m321m aaaaaS 得 aaaaaS m13m2m1mm 由 得 10 分 21 1 2 mm amS 4 55 2 1 1 1 2 1 1 mfmSm 对任意的 2 1 1 b 1b bbbb nnn 2 n1n 0 n bNn 即 1b 1 b 1 1b b 1 b 1 nnnn1n 1nnn