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等比数列的前n项和 国际象棋的棋盘上共有8行8列 构成64个格子 国际象棋起源于古代印度 关于国际象棋有这样一个传说 引入 国王要奖赏国际象棋的发明者 问他有什么要求 发明者说 请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒 在第2个格子里放上2颗麦粒 在第3个格子里放上 4颗麦粒 在第4个格子里放上8颗麦粒 依此类推 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍 直到第64个格子 请 你认为国王有能力满足发明者上述要求吗 给我足够的粮食来实现上述要求 国王觉得这并不是很难办到的 就欣然同意了他的要求 让我们来分析一下 由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍 且共有64个格子 各个格子里的麦粒数依次是 于是发明者要求的麦粒总数就是 一 复习 1 等比数列的定义 2 等比数列的通项公式 数列的前 项和与通项之间的关系 二 等比数列前n项和公式的推导 一 用等比定理推导 当q 1时Sn na1 因为 所以 或 Sn a1 a2 a3 an 1 an a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 a1 q a1 a1q a1qn 3 a1qn 2 a1 qSn 1 a1 q Sn an 三 从 二 继续发散开有 Sn a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn 两式相减有 1 q Sn a1 a1qn 三 小结 上述几种求和的推导方式中第一种依赖的是定义特征及等比性质进行推导 第二种则是借助的和式的代数特征进行恒等变形而得 而第三种方法我们称之为错位相减法 由Sn an q a1 n知三而可求二 四 例题选讲 例1 求等比数列1 2 1 4 1 8 的前n项和 分析 拆项后构成两个等比数列的和的问题 这样问题就变得容易解决了 例2 求和 例1 解 由a1 1 2 n 8 得 q 1 4 1 2 1 2 例2 例3 某制糖厂第1年制糖5万吨 如果平均每年的产量比上一年增加10 那么第1年起 约几年内可使总产量达到30万吨 保留到个位 解 根据题意 每年的产量比上一年增加的百分率相同 所以从第 年起 每年的产量组成一个等比数列 an 其中 a1 5 q 1 10 1 1 Sn 30 1 1n 1 6 于是得到 整理得 n lg1 1 lg1 6 答 约5年内可以使总产量达到30万吨 两边取对数 例4 已知Sn是等比数列 an 的前n项和 S3 S9 S6成等差数列 求证 a2 a8 a5成等差数列 分析 由S3 S9 S6成等差数列 得S3 S6 2S9 要证a2 a8 a5成等差数列 只要证 a2 a5 2a8 证明 由S3 S9 S6成等差数列 得S3 S6 2S9 这里q 1 事实上 如果q 1 则S3 3a1 S6 6a1 S9 a1 由a
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