线性变换的定义

教学目标 理解线性变换的概念 掌握线性变换的基本性质 6 1线性变换的定义 教学难点 线性变换的象与核的求法 授课题目 6 1线性变换的定义 授课时数 4学时 教学重点 线性变换的基本性质 第六章线性变换 一 定义及例子 容易看出 对任意向量 及实数k均有 k k 1 两个实例 容易看出 对任意向量 及实数k均有 k k 定义1设V是数域F上的一个线性空间 是V的一个变换 如果它满足以下两个条件 1 对任意的 V 有 2 对任意的k F 有 k k 则称 是向量空间V的一个线性变换 2 定义 例3对的每个向量 规定 是的一个变换 我们证明它是一个线性变换 1 对于的任意两个向量 与 有 x1 y1 x2 y2 x3 y3 3 一些例子 x1 y1 3 x1 y1 x2 y2 x2 y2 x3 y3 2 对任意数k F 则有 k kx1 kx2 kx3 kx1 3kx1 kx2 kx2 kx3 k x1 3x1 x2 x2 x3 k 因此 是F3的一个线性变换 x1 3x1 x2 x2 x3 y1 3y1 y2 y2 y3 1 0 0 2 0 0 而 如果在F3中规定 x12 3x1 x2 x2 x3 那么 就不是F3的线性变换 3 0 0 1 3 0 4 6 0 5 10 0 9 9 0 例4在Mn F 中 对任意的n阶方阵X 规定 X AXB 其中A和B为F上两个固定的方阵 由于 所以 是Mn F 的一个线性变换 特别地 若A B 则 X B XB 是Mn F 的一个线性变换 若B可逆 且A B 1 则 X B 1XB 也是Mn F 的一个线性变换 例5设V是数域F上的一个线性空间 取定F中的一个数k 对任意的 V 规定 k 当k 1时 是V的恒等变换 是V的一个线性变换 叫做V的一个数乘 或位似 变换 因此 恒等变换及零变换都是线性变换 当k 0时 是V的零变换 例7设C a b 是定义在 a b 上的一切连续函数作成的R上的线性空间 对任意的f x C a b 规定J f x 例6在F x 中 令D f x f x 容易验证 D是F x 的一个线性变换 称为F x 的微商变换 或微分变换 J f x 仍是 a b 上的连续函数 线性变换 叫做C a b 的积分变换 J是C a b 的一个 二 线性变换的基本性质 1 线性变换 把零向量变成零向量 把任一向量 的负向量 变成 的象 的负向量 证任取一向量 有 0 0 0 0 所以 0 0 2 定义1中的条件 1 2 与以下条件等价 3 对任意的a b F V 有 a b a b 3 线性变换 保持线性关系式 即对于 V 若有k1 k2 kn F 及 1 2 n V使得 k1 1 k2 2 kn n则 k1 1 k2 2 kn n 特别地 当 0时 有K1 1 k2 2 kn n 0 若k1 k2 kn不全为0 则得性质 4 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 5 设 是V的一个线性变换 V 是V的子空间 V 在 下的象集合 记作 V 即 V V 则 V 是V的一个子空间 证对任意的 V 总有 V 使 由于 是线性变换 所以 对任意的a b F 有a b a b a b 但V 是V的子空间 a b V 因而a b V 故 V 是V的一个子空间 特别地 V 是V的子空间 称为 的象 可用Im 表示 6 设 是V的一个线性变换 W 是V的一个子空间 则W 在 之下的原象集合 V W 是V的一个子空间 特别地 零子空间 0 在 之下的原象集是V的一个子空间 称为 的核 用ker 表示 即ker V 0 我们用图6 3和图6 4分别表示子空间Im 和ker 性质5 和性质6 可总括为 在线性变换 之下 向量空间V的子空间的象集和原象集都是V的子子空间 的求解问题 用线性变换的话来说 就是求向量的原象的问题 线性方程组 例8在中 令 A 是中任意的向量 A是确定的F上的n阶方阵 则是的一个线性变换 而解齐次线性方程组就相当于求线性变换的核 容易看出Im L A 1 A 2 A n L 1 2 n 其中 而 1 2 n是A的列向量 习题6 11 判断以下的变换是否是线性变换 说出理由1 在R3中 x1 x2 x3 0 x1 x2 3x3 2x1 x2 2x3 2 在Q3中 x1 x2 x3 x2 x3 3 在线性空间V中 是V中固定的一个向量 4 在线性空间V中 是V中固定的一个向量 5 在Mn F 中 X XA AX 其中A是Mn F 中固定的一个方阵 6 在F x f x f x 1 f x 7 在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及零多项式构成的线性空间Rn x 中 f x xf x 8 把复数域C看成它自己