北京市师大附中2018_2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）.docx

北京师大附中2018- 2019 学年下学期高中一年级期中考试数学试卷本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分一、本大题共10小题，共40分1.若ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若a=2,b=3,c=4,则cosC=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理得到角的余弦值即可.【详解】，根据余弦定理得到 故答案为：A.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，属于基础题.2.若ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若a2 +b2-c2=ab,则C=( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理得到角C的余弦值，进而得到角C.【详解】故角 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，属于基础题.3.中，则一定 （ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理得到，进而得到三个角相等，是等边三角形.【详解】中，, 故得到，故得到角A等于角C，三角形等边三角形.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，属于简单题.4.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a,则a的取值范围是( )A. B. (3,5)C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角形的条件得到【详解】锐角三角形的三边长分别为1, 2, 则保证2所对应的角和所对应的角均为锐角即可，即 故答案为：A.【点睛】本题考查了锐角三角形的概念以及余弦定理的应用，属于基础题.5. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495住在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数一次为A. 26, 16, 8,B. 25，17，8C. 25，16，9D. 24，17，9【答案】B【解析】由题意知间隔为12，故抽到号码为12k3(k0,1，49)，列出不等式可解得：第营区抽25人，第营区抽17人，第营区抽8人6. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 （ ）A. 12,24,15,9B. 9,12,12,7C. 8,15,12,5D. 8,16,10,6【答案】D【解析】试题分析：由题意，得抽样比为，所以高级职称抽取的人数为，中级职称抽取的人数为，初级职称抽取的人数为，其余人员抽取的人数为，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D考点：分层抽样【方法点睛】分层抽样满足“”，即“或”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个【此处有视频，请去附件查看】7.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是()A. 4SB. 4SC. SD. 2S【答案】C【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R2R4S，得R2S.所以底面面积为R2S.故选C8. .投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是ABCD【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、，又，所以所事件的概率为，故选C考点：相互独立事件概率的计算【此处有视频，请去附件查看】9.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由茎叶图中的数据得，甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩甲=（88+89+90+91+92）=90；设污损数字为x，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x，则乙的平均成绩乙=83+83+87+99+（90+x）=884+，当x=8或9时，甲乙，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率10.现有A1，A2，A5,这5个球队进行单循环比赛(全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场)当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为: A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，进而可得A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又由A4队只赛过一场，分析可得A2队必须和A3、A5各赛1场，据此分析可得答案【详解】根据题意，A1，A2，A3，A4，A5五支球队进行单循环比赛，已知A1队赛过4场，所以A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，已知A2队赛过3场，A2队已和A1队赛过1场，那么A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又知A4队只赛过一场（也就是和A1队赛过的一场），所以A2队必须和A3、A5各赛1场，这样满足A3队赛过2场，从而推断A5队赛过2场故选：B【点睛】此题主要考合情推理的应用，利用A1队比赛场数得出A2队、A4队比赛过的对应球队是解题关键二、填空题:共6小题，每小题5分，共30分11.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若b=2，则a=_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】根据正弦定理得到 故答案为：.【点睛】这给题目考查了正弦定理的应用属于基础题.12.某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3若该样本的平均数为1,则样本方差为_【答案】2【解析】【分析】先由数据的平均数公式求得，再根据方差的公式计算【详解】解：由题可知样本的平均值为1，解得，样本的方差为故答案为：2.【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题13.如图,AOB为水平放置的AOB斜二测画法的直观图，且OA=2, OB =3,则AOB的周长为_【答案】12【解析】【分析】先将直观图还原，再计算周长即可.【详解】根据课本知识刻画出直观图的原图为：其中OA=4，OB=3，根据勾股定理得到周长为：12.故答案为：12.【点睛】这个题目考查了直观图和原图之间的转化，原图转化为直观图满足横不变，纵减半的原则，即和x轴平行或者重合的线长度不变，和纵轴平行或重合的直线变为原来的一半。14.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_【答案】【解析】正方体的棱长为正方体体积，当四棱锥的体积小于时，设它的高为，则，解之得，则点在到平面的距离等于的截面以下时，四棱锥的体积小于，求得使得四棱锥的体积小于的长方体的体积四棱锥的体积小于的概率，故答案为.15.如图，在边长为的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为_.【答案】8+4【解析】【分析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体为一个三棱锥，其底面三角形与侧面为全等的等腰三角形，侧面面，,侧面与为边长为的全等的等边三角形，即可求解几何体的表面积.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体为一个三棱锥，其底面三角形与侧面为全等的等腰三角形，侧面面，,侧面与为全等的等边三角形，边长为，则该三棱锥的表面积为.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.16.在中，角的对边分别为，且为锐角，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，从而利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，又，所以，又为锐角，可得.因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，面积的最大值为. 故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题:共6个小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长.【详解】解：（1）由，所以.由正弦定理得，即. （2）在中，.由余弦定理得，,所以 .所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.18.中，角A，B,C的对边分别是且满足（1）求角B的大小；（2）若的面积为为且，求的值；【答案】(1). ac【解析】试题分析：（1）又A+B+C=，即C+B=-A，sin（C+B）=sin（-A）=sinA，将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在ABC中，0A，sinA0，cosB=，又0B，则；（2）ABC的面积为，sinB=sin=，S=acsinB=ac=，ac=3，又b=，cosB=cos=，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-9=3，（a+c）2=12，则a+c=考点：考查主要考查正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值。点评：中档题，本题综合考查了正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值。其中（2）将sinB及已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB，再利用完全平方公式整理后，按整体思想求出a+c的值。19.某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样了人，回答问题计结果如下图表所示：（1）分别求出的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.【答案】（1）18,9,0.9,0.2（2）2，3,1（3）【解析】试题分析：（1）根据第一组的答对的人数和概率，计算得第一组的人数，根据频率可计算的总人数为，再根据频率分布直方图可计算得；（2）三组答对人数比为，故分别抽取人；（3）利用列举法求得概率为.试题解析：（1）第1组人数，所以，第2组人数，所以，第3组人数，所以，第4组人数，所以，第5组人数，所以，（2）第2，3，4组回答正确的人的比为，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为，则从6名学生中任取3名的所有可能的情况有20种，它们是：，其中记“第3组至少有1人”为事件，则的对立事件是“第3组的没有选到”，其基本事件个数是1个，即，故所求概率为.20.某汽车租赁公司为了调查A, B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数34567车辆数330575B型车出租天数34567车辆数101015105(1)试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只需写出结果);(2)现从出租天数为3天的汽车(仅限A, B两种车型)中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率;(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由【答案】(1) B型车在本星期内出租天数的方差较大(2) (3) 选择A型车,详见解析【解析】【分析】（1）根据数据的离散程度可得到结果；（2）；（3）从利润均值和方差两方面来进行决策都是正确的.【详解】(1)由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大(2)设事件A为“从出租天数为3天的汽车(仅限A, B两种车型)中随机抽取一辆汽车是所以这辆汽车是A类型车的概率为(3)50辆A类型车出租的天数的平均数为50辆B类型车出租的天数的平均数为答案一:一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62, B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8,选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车。答案二: 一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62, B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车【点睛】这个题目考查了数据方差和均值的计算，考查了古典概型的计算，以及涉及了决策问题；古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.21.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x25，1600时，f(x)是增函数;f (x) 75恒成立; 恒成立(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围【答案】(1) 函数模型，不符合公司要求,详见解析(2) 1，2【解析】【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.【详解】(1)对于函数模型,当x25, 1600时， f (x)是单调递增函数，则f (x) f (1600) 75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x60不恒成立，综上所述，函数模型，满足基本要求，但是不满足，故函数模型，不符合公司要求(2)当x25，1600时，单调递增，最大