3例谈构造平行六面体解立体几何题.doc

2例谈构造平行六面体解立体几何题立体几何题的题设中若有“垂直”(包括线线垂直、线面垂直及面面垂直)可以试着构造长方体来求解，若没有“垂直”也可尝试构造平行六面体来求解.本文以普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1A版(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称教科书)中的题目及几道高考题来谈谈这种解题方法.题1 (教科书第106页例2)如图1，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.从到直线(库底与水坝的交线)的距离和分别为和，的长为，的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.图1 图2解 可在如图2所示的平行六面体中求解：因为，所以.又，所以面，得，所以.在中，由余弦定理可求得，此即所求二面角的余弦值.题2 (教科书第107页练习第2题)如图3，的二面角棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，求的长.图3 图4解 可在如图4所示的平行六面体中求解：在中，由余弦定理可求得.可证面，所以有，在中可求得.题3 (教科书第113页第12题)一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小.解 可在如图5所示的长方体中求解：，可不妨设，得，所以在中可求得，即夹在直二面角的线段与棱所成角的大小是.图5题4 已知两平行平面的距离为，点，点，且，异面直线成角，求四面体的体积.解 可在如图6所示的平行六面体中求解：图6在图6所示的平行六面体中，或，所以.题5 (2012安徽文15) 若四面体的三组对棱分别相等，即，则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号)。四面体每组对棱相互垂直四面体每个面的面积相等从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体每个顶点出发的三条棱可作为一个三角形的三边长解 .如图7，可把四面体放置在如图所示的平行六面体中，由该四面体的三组对棱分别相等，可得该平行六面体是长方体(在图7，由可得图7中的平行六面体左面的平行四边形的对角线相等，所以它是矩形.同理得该平行六面体的表面均是矩形，所以该平行六面体是长方体).错误：因为长方体不一定是正方体.正确：可证.错误：可得从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和为180，比如.错误：如图8，易证顺次连接四面体的棱的中点得到的四边形是菱形.正确：比如，从四面体的顶点出发的三条棱可组成.图7 图8题6 (2012大纲全国理16)三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为.解法1 .如图9，作面于，由可得是的平分线.设直线，则点是的中点.图9由，得 可不妨设，得.可如图1建立空间直角坐标系，得，再由，得，所以设异面直线与所成角的大小为，则解法2 .如图10，可把三棱柱补成平行六面体.图10作面于，由可得是的平分线.设直线，则点是的中点.由得，所以.可不妨设，得.菱形的边长为1，所以；菱形的边长为1，所以.在等腰中，易求得，所以异面直线与所成角的余弦值为.题7如图11所示，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_图11解 .所有的四面体(即三棱锥)都可以放置在平行六面体中，且四面体的四个顶点是平行六面体的八个顶点中的四个.进一步，还可得：对棱长相等的四面体都可以放置在长方体中，且四面体的四个顶点是长方体的八个顶点中的四个.所以本题也可利用长方体建立坐标系简洁求解.可把三棱锥ABCD放置在如图12所示的长方体中.图12如图12所示，设长方体的长、宽、高分别是，由勾股定理得解得.可如图12所示建立空间直角坐标系来求解.得，所以，再得.得，所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.题8 (2010年同济大学自主招生数学试题)如图13所示，在四面体中，异面直线的距离为，夹角为.图13(1)若面，求四面体的体积；(2)若，求证：四面体的体积为定值；(3)求四面体的体积. 解 我们先解第(3)问：(3)如图14所示，将四面体补成一个平行六面体，得，上下两底面的距离为，所以图14由第(3)问的结论，立得头两问的解法：(1)；(2)(定值).题9 求证：若四面体ABCD的六条棱长满足，则(1)可把该四面体放置在如图15所示的直平行六面体中：图15(2)对棱AD和BC，BD和AC，AB和CD之间的距离分别为，其中证明 (1)略.(2)在图15的直平行六面体中，设.由勾股定理，可得.如图16所示，在平行四边形中，可得.可解得结论(2)中关于的结论成立.图16又平行四边形的面积是，在中由余弦定理可求得，所以可得结论(2)中关于的结论也成立.因为对棱AD和BC的距离就是如图16所示的直平行六面体中左、右两个侧面的距离，也即平行四边形的对边的距离，所以对棱AD和BC的距离是.同理可得BD和AC，AB和CD之间的距离分别为.证毕.题10 求证：若四面体ABCD有两组对棱互相垂直(则可证得其三组对棱均互相垂直)，且，则(1)可把该四面体放置在如图17所示的所有棱长均相等的平行六面体中：图17(2)；(3)对棱AD和BC，BD和AC，AB和CD之间的距离分别为，其中证明 (1)略.(2)由平行四边形两条对角线的平方和等于各边的平方和，可得进而可得欲证结论成立.(3)设的垂心为点H.如图18所示，分别以边BC和BC上的高所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.图18可设，得，解得，其中.得直线.又直线，所以直线.可得.进而可得垂心H到顶点A的距离为.如图19所示，设侧棱与底面所成角的大