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圆锥曲线过焦点弦最短问题武安一中：郅武强直线与圆锥曲线位置关系是高考近几年解析几何命题的热点。弦长问题是我们常见问题，这里往往涉及到弦长最值。直线过圆锥曲线的焦点与圆锥曲线的相交弦何时最短，是学生比较困惑的地方。现对抛物线、椭圆、双曲线过焦点的弦何时最短证明如下：1.抛物线： 已知抛物线的标准方程为，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，求的最小值.解： 若直线AB的斜率不存在，则Ay FBox 若直线AB的斜率存在不妨设为k，则直线AB的方程为 与抛物线联立方程组消去y 得 设A、B的坐标分别是，由焦点弦公式得：故当直线AB和x轴垂直的时候最小，即最小值为。2.椭圆 已知椭圆的标准方程为，过椭圆右焦点的弦交椭圆于A、B两点，求的最小值。y解：如图所示： 设A、B点的坐标分别是,A 若直线AB的斜率不存在则xoFB 设直线AB的斜率存在为k则直线AB的方程为 与椭圆联立方程组得： 消去y得 由焦半径公式可得： 故当斜率k不存在时侯AB最短3.双曲线已知双曲线的方程为，过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支交与A、B两点，求的弦长最小值。y解： 若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为 则Aox 若直线AB的斜率存在，不妨设斜率为k,则直线AB的方程为与双曲线联立方程可得FB 消去y得 或 由焦半径公式可得： 所以当直线AB与x轴垂直时的长最小，即最小值为。综上所述，过焦点的直线与圆锥曲线的相交弦，只有
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