高中数学 第36讲不等式的性质与基本不等式及应用课件 新人教A版必修5

必修5 第三章不等式 第36讲 不等式的性质与基本不等式及应用 1 了解现实世界与日常生活中的不等关系 了解不等式 组 的实际背景 2 掌握并能运用不等式的性质 掌握比较两个实数大小的一般步骤 3 掌握基本不等式 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 1 若x 0 则x 的最小值为 2 2 设 0 0 那么2 的取值范围是 D A 0 B C 0 D 由题设得0 2 0 所以 0 所以 2 3 已知三个不等式 ab 0 bc ad 0 0 其中a b c d均为实数 用其中两个不等式作为条件 余下的一个不等式作为结论组成一个命题 可组成的正确命题的个数是 D A 0B 1C 2D 3 由ab 0 bc ad 0可得出 0 bc ad 0两边同除以ab 得 0 同样由 0 ab 0 可得bc ad 0 bc ad 0bc ad 0 0 0 由 ab 0 故选D 4 设a b是不相等的正数 则下列关系中 不恒成立的是 C A a b a b B a2 a 1aC a b 2D C选项 a b 2 当a b 0时不成立 运用公式一定要注意公式成立的条件 如果a b R 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时取 号 如果a b是正数 那么 当且仅当a b时取 号 5 设x y R a 1 b 1 若ax by 3 a b 2 则 的最大值为 C A 2B C 1D 由ax by 3 得x loga3 y logb3 log3 ab log3 2 1 故选C 1 实数的大小顺序与运算性质之间的关系a b ab ab b c ab a c b c 故a b c 移项法则 推论 a b c d 同向不等式相加 a b 0 a b 0 a b 0 b a b a a c a c a c b a c b d 4 a b c 0 a b cb 0 c d 0 推论 a b 0 推论 a b 0 3 基本不等式定理1 如果a b R 那么a2 b2 当且仅当a b时取 号 说明 1 指出定理适用范围 a b R 2 强调取 号的条件a b ac bc ac bc ac bd an bn 2ab 定理2 如果a b是正数 那么 当且仅当a b时取 号 说明 1 这个定理适用的范围 a b R 2 我们称为a b的算术平均数 称为a b的几何平均数 即两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 结论 若x y R x y S xy P 则 如果P是值 那么当x y时 S的值最 如果S是值 那么当x y时 P的值最 求最值的必要条件 一正 二定 三相等 定 小 定 大 题型一不等式性质的应用 例1 设f x ax2 bx 且1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的取值范围 因为f 1 a b f 1 a b 而1 a b 2 2 a b 4 又a b与a b中的a b不是独立的 而是相互制约的 因此 若将f 2 用a b与a b表示 则问题得解 方法一 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a m n b m n 4m 3m n 2 n 1 所以f 2 3f 1 f 1 因为1 f 1 2 2 f 1 所以5 3f 1 f 1 0 故5 f 2 10 于是 得 方法二 a b f 1 a f 1 f 1 a b f 1 b f 1 f 1 所以f 2 4a 2b 3f 1 f 1 以下同方法一 由 得 严格依据不等式的基本性质和运算法则 是正确解答此类题目的保证 若先将参数a b的范围求出 而后再求f 2 的范围 这样操作是错误的 因为解题过程没有忠实题目所给条件 即变形不等价 由所求的参数a b的范围并不能得到已知条件所给的f 1 及f 1 的范围 这样 已经改变了题目的条件 当然 所求的结果就不是实际的结果 因此 在解题的过程中 务必尽可能保持变形的等价性 以免发生错误 题型二利用作差法 作商法比较大小 例2 1 设a 0 b 0且a b 试比较aabb与abba的大小 2 已知函数f x x2 ax b p q 1 且p q都是正数 试比较pf x qf y 与f px qy 的大小 1 根据同底数幂的运算法则 可考虑用比商法 aa b bb a a b 当a b 0时 1 a b 0 则 a b 1 于是aabb abba 当b a 0时 01 于是aabb abba 综上所述 对于不相等的正数a b 都有aabb abba 2 作差pf x qf y f px qy p x2 ax b q y2 ay b px qy 2 a px qy b p 1 p x2 q 1 q y2 2pqxy pq x y 2 p 1 p x y 2 所以 当x y时 p 1 p x y 2 0 得pf x qf y f px qy 当x y时 x y 2 0 所以pf x qf y f px qy 综上所述 当x y时 pf x qf y f px qy 当x y时 pf x qf y f px qy 比较大小 常用作差 商 比较法 题型三利用基本不等式求最值 例3 设x 0 y 0 x2 1 求x的最大值 方法一 因为x 0 y 0 x2 1 所以x 当且仅当x y 即x2 时 x取得最大值 x cos y sin 0 则x cos 当2cos2 1 2sin2 即 时 x y 时 x取得最大值 方法二 令 在不等式的性质中 要特别注意下面三点 1 不等式的传递性 若a b b c 则a c 这是放缩法的依据 在运用传递性时 要注意不等式的方向 否则易产生这样的错误 为证明a c 选择中间量b 在证出a b c b后 就误认为能得到a c 2 同向不等式可相加但不能相减 即由a b c d 可以得出a c b d 但不能得出a c b d 3 不等式两边同时乘以一个数或式时 只有保证该数或式为正 才能得到同向的不等式 若不能保证所乘之数或式为正 则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向 不等式两边同偶次乘方时 也要特别注意不等式的两边必须是正 在基本不等式的应用中 要特别注意下面结论 若x y R x y S xy P 则 1 如果P是定值 那么当x y时 S的值最小 2